Элементы комбинаторики. (размещение, перестановка, сочетание)

С-сумма 2ух событий А и В, если происходит хотя бы одно из этих событий (или А, или В, или оба вместе) С=А+В

Событие С называется произведением событий А и В, если проявляются оба события (и А, и В) С=А*В

Теорема: Вероятность появления суммы 2ух несовместных событий равна сумме вероятности этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

-Сумма вероятностей событий А1, А2 и ..., образующих полную группу равна единице.

-Принцип практической невозможности маловероятных событий.

Если Р(А) близка к нулю (лотерея), то нельзя сделать вывод, что событие не наступит, хотя в единичном испытании это событие чаще всего не наступает.

У маловероятного события противоположным является событие близкое к 1 (чаще всего происходит)

Уровень значимости – это достаточно малая вероятность, при которой событие считается практически невозможным (от 0,01-0,05) или от 1 до 5 %

Вероятность произведения 2ух независимых событий равно произведению вероятностей этих событий.

Если событие В зависит от события А, то вероятность произведения этих событий равна произведению 1 события на условную вероятность 2.

Комбинаторика-раздел матем, изучающий способы подсчета вариантов выбора элементов из некоторых множеств

Размещением из Н эл-ов по М наз-ся любой упорядоченный набор М эл-ов, выбранных из совокупности Н эл-ов. Число размещений А(m,n), формула А(m,n)=n!/(n-m)!

Сочетанием из Н эл-ов по М наз-ся любой неупорядоченный набор М эл-ов, выбранных из совокупности Н эл-ов. Число сочетаний С(m,n) формула С(m,n)=n!/m!(n-m)!

Перестановкой из Н эл-ов наз-ся любой упорядоченный набор этих эл-ов. Число перестановок Pn, формула Pn=n!

Случайные события.

Событием наз-ся факт, который в опыте может произойти или нет. обозначается по алфавиту. Виды событий: 1.Если в рамках опыта событие произойти не может, оно называется невозможным (восход солнца на западе)

--//--//-- cобытие произойдет обязательно, оно наз-ся достоверным (солнце взойдет на востоке)

--//--//-- событие может произойти, а может и не произойти, оно наз-ся случайным.

2. События наз-ся несовместными, если в рамках одного и того же опыта наступление одного из них исключает наступление другого.

--//--//-- наз-ся совместными, если в рамках одного и того же опыта могут произойти одновременно (студенты А и В пошли сдавать экзамен, оба сдали)

--//--//-- наз-ся независимыми, если в рамках опыта оба происходят последовательно и обязательно, но при этом наступление 1 события не повлияло на наступление 2

Определение вероятности.

Опыт, эксперимент, испытания – реализация одних и тех же условий или действий.

Результат опыта – исход. Под случайным событием понимают одно или несколько исходов в рамке одного опыта.

Классическое определение вероятности

Р(А) = m/n, где n-все равновозможные несовместные исходы данного опыта. m-исходы, благоприятные событию А.

А-невозможное событие => m=0, P(A)=0

А-достоверное событие => m=n, P(A)=1

А-случайное событие => 0<m<n, 0<P(A)<1.

Пример: А{выпала четная цифра}, всего исходов n={1,2,3,4,5,6}, благоприятных m={2,4,6}, => Р(А)=3/6=1/2

Если в рамках опыта сформулированы все возможные попарнонесовместные события, то они обазуют полную группу событий. Сумма вероятностей событий = 1. Если полная группа состоит из 2ух событий, то они наз-ся противоположными А и А¯.

Геометрическое определение вероятности

У классической вероятности есть существенный недостаток, непосредственный расчет вероятности сложно прикрепить к испытаниям с бесконечным числом исходов, поэтому вводят геометрическую вероятность: вероятность попадания точки в область.

Рассматривают 3 варианта:

1.Пусть дан отрезок длиной L, отрезок l является частью L. На отрезок L случайным образом поставлена точка, вероятность того, что точка попала на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от расположения относительно отрезка L.

2. На плоскости расположена фигура площадью S, внутри нее взята плоскость площадью s, вероятность того, что на удачу брошенная точка на большую фигуру, попадет на меньшую фигуру прямопропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения внутри фигуры и от ее формы .

3.Пусть в пространстве Oxyz построено тело объемом V, внутри большего тела рассмотрена область v, тогда вероятность того, что на

удачу брошенная в большее тело точка окажется внутри меньшего тела равна отклонению меньшего v к большему.

Эти определения – частные случаи общего определения геометрической вероятности.

Если mes-мера (длина, S, V) , то формула имеет вид , где G-искомая обл., g-внутренняя обл.

В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.