22) Определение

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками  . Тогда говорят, что произведено разбиение  отрезка   Далее выберем произвольную точку  ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , то есть

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

[править]Обозначения

•  — нижний предел.

•  — верхний предел.

•  — подынтегральная функция.

•  — длина частичного отрезка.

•  — интегральная сумма от функции   на   соответствующей разбиению  .

•  — максимальная длина част. отрезка.

[править]Свойства

Если функция   интегрируема по Риману на  , то она ограничена на нем.

[править]Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции 

  Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

23) I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

24)  Случайные события.  Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие ?при бросании монеты выпал герб? - случайное. Каждое случайное событие , в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.  В дальнейшем, вместо того чтобы говорить ?совокупность условий S осуществлена?, будем говорить кратко ?произведено испытание?. Таким образом, события будет рассматривается как результат испытания.  2.2.Классификация случайных событий.  Полной группой событий называются несколько событий таких что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.  События называют несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.  События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. 

Вероятность события. Классическое определение вероятности

Пусть = { ₁,  ₂, …,  _s} - произвольное конечное пространство элементарных событий, A - событие, состоящее из k элементарных событий: A={ _i1,  _i2, …,  _ik}, 1   i₁   i₂  …  i _k  s, k = 1, 2,…, s, и пусть  . Определенная таким образом функция P(A) удовлетворяет всем аксиомам 1-4(здесь множество   состоит из всех подмножеств множества  :  ). Таково классическое определение вероятности события A.

Принята следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу исходов.

Из приведенных определений следует: P( )=0,  ,  .

Вероятность суммы событий

Для любых двух событий A и B справедливо:  .

Если события A и B несовместны, то  .

Вероятность произведения событий. Условная вероятность. Независимые события

Условная вероятность P(A/B) события A при условии, что событие B произошло, P(B) > 0, определяется формулой

.

Для любых двух событий A и B справедливо:  .

События A и B называются независимыми, если  . Для любых двухнезависимых, событий A и B справедливо: