Геометрический смысл дифференциала

 

Н а графике функции   возьмем произвольную точку   и дадим аргументу   приращение  . При этом функция получит приращение  (на рисунке отрезок  ).

Проведем касательную к кривой   в точке   и обозначим угол ее наклона к оси   через  , тогда  . Из треугольника   находим    , т.е.  .

Таким образом, дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда аргумент   получает приращение  .

  Выпуклость и вогнутость функции, точка перегиба

Определение 7. Говорят, что кривая выпуклая (обращена выпуклостью вверх) на интервале (a, b), если в каждой точке этого интервала касательная расположена выше кривой. Говорят, что кривая вогнутая (обращена выпуклостью вниз) на интервале (a, b), если в каждой точке этого интервала касательная расположена ниже кривой.

Теорема 22.

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b). Если f''(x) < 0 (f''(x ) > 0) на(a, b), то кривая y = f(x) выпуклая (вогнутая) на (a, b).

Доказательство

Пусть f''(x) < 0. Возьмем произвольное фиксированное число x₀ (a,b). Уравнение касательной к кривой f''(x) < 0 в точке (x₀, f(x₀)) имеет вид (см. п.1.2):

Обозначим 

Знак функции g определяет, лежит ли касательная выше или ниже кривой. Докажем, чтоg(x) > 0 для любого x₀ (a,b). Функция g дважды дифференцируема на (a, b). По теореме Лагранжа

 где θ лежит между ξ и x₀.

Так как g'(x) = f'(x₀) − f'(x), то g'(x₀) = 0. Следовательно, g'(ξ) = g''(θ)(ξ − x₀).

Так как g''(x) = − f''(x), то мы получаем g(x) = − f''(θ)(ξ − x₀)(x − x₀)

Так как число x₀ – произвольное, то касательная к кривой y = f(x) при любом x лежит выше кривой, и кривая y = f(x) выпуклая. Аналогично доказывается, что если f''(x) > 0, то кривая y = f(x)вогнутая. Теорема доказана.

Определение 8. Точка на кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называетсяточкой перегиба.

Теорема 23.

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на (a, b), кроме, быть может, числа x₀ (a,b). При x = x₀ функция f либо непрерывна и не имеет второй производной, либо дважды дифференцируема и f''(x₀) = 0. Если при переходе через x₀ вторая производная функции fменяет знак, то (x₀, f(x₀)) – точка перегиба.

Доказательство

Пусть, например, f''(x₀) < 0 при x <x₀, и f''(x₀) > 0 при x >x₀. По теореме 22, при x <x₀ криваяy = f(x) – выпуклая, а при x >x₀ – вогнутая. Следовательно, (x₀, f(x₀)) – точка перегиба.

18) Признаки возрастания и убывания функции:

• Если производная функции положительна  в каждой точке некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале.

• Если производная функции отрицательна в каждой  точке некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале.

Точки экстремума.

Точки экстремума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием или наоборот. На графике они выглядят, как точки перегиба функции. Пик — это максимум, впадина — это минимум.

•    Если точка    является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная   , то она равна нулю. •    Если в точке    производная меняет знак с плюса на минус, то точка   является точкой максимума. •    Если в точке    производная меняет знак с минуса на плюс, то точка   является точкой минимума.

___________________________________________________________________________________________

1) (27490) 3)    На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале ( -2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Экстремумы на графике выглядят как перегибы (пики и впадины). Точки экстремума - это значения x. На данном графике 7 экстремумов. Определим значения точек экстремума. (Считайте очень внимательно по клеточкам) 1; 2; 4; 7; 9;10;11 Теперь найдем их сумму: 1 + 2 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 = 44 Ответ: 44

2) (27494) На рисунке изображен график   — производной функцииf(x), определенной на интервале (- 7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку  .

Обратите внимание, что здесь изображен не график функции, а графикпроизводной функции. Точки максимума на данном графике  -  это точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус. На отрезке   производная меняет знак с плюса на минус только один раз - в точке x = 7.  Так как нужно найти количество таких точек, то ответ равен 1. Ответ: 1

 

19) Условия монотонности функции.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и

возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

неотрицательна, т.е. f(x)  0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и

дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то

эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает

на отрезке [a, b], то f (x)  0 на этом отрезке. Если f (x) < 0 в промежутке

(a,b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Точки экстремума.

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) > f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) < f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если

функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой

экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Точки, где f (x)  0 называются стационарными точками, или

точками возможного экстремума.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди

тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или

не существует.

Точки области определения функции, в которых производная либо

равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит

критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала

(кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции

f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет

минимум.

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.

Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в

некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет

максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее

точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая,

обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая,

обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую

производную и f (x)  0( f (x)  0) во всех точках интервала (a, b), то график

функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке

функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на

одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута. Угловая точка не

является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая

производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку

х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой

перегиба.

20) Первообра́зной^[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция   является первообразной  . Так как производная константы равна нулю,   будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как   или   … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции   можно обозначить как  , где C — любое число.Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например,   с   не непрерывна при  , но имеет первообразную   с  .

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции,логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Неопределённый интегра́л для функции   — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция   определена и непрерывна на промежутке   и   — её первообразная, то есть   при  , то

  ,

где С — произвольная постоянная.

Если  , то и  , где   — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

 Основные свойства

     1.     

     2.     

     3. Если   то

     4. 

21) Одним из главных способов преобразования неопределенных интегралов к табличным является метод замены переменной. Он имеет два варианта. Первый вариант используется после подведения под знак дифференциала, когда имеется равенство

∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

∫  U(x)  dV(x)   =   ∫  w(V(x)) dV(x)   =   ∫  w(t) dt

где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

∫  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной. Новая переменная t вводится как функция исходной переменной x. Не требуется, чтобы соответствие между x и t было взаимно однозначным.

Во втором варианте метода замены переменной новая переменная t вводится равенством x = (t). Функция (t) называется подстановкой. Она взаимно однозначна, т.е. имеет обратную. Этот метод основывается на следующей теореме.

Теорема. Пусть существует неопределенный интеграл

∫ f(x) dx

и пусть   x = (t) ,  где (t) — непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию t =  ^{− 1}(x) .

Тогда

∫ f(x) dx = ∫ f((t)) · '(t) dt         при   t =  − 1(x).

(1)

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 167.

Подобрать нужную подстановку x = (t) — искусство интегрирования. Иногда на ум приходит сначала не x = (t), а обратная функция t =  ^{− 1}(x) . Часто приходится испробовать несколько подстановок, прежде чем будет найдена та, с помощью которой данный интеграл сводится к табличному. Некоторые подстановки оказались столь удачными, что им присвоены специальные названия. Например, используются подстановки Абеля, Эйлера, гиперболические, дробно–линейные, тригонометрические и др. Некоторые интегралы разными подстановками сводятся к разным табличным интегралам.

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая  .

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x)на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности  . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

В качестве примера найдем множество первообразных функции логарифма.

Пример.

Найти неопределенный интеграл 

Решение.

Найдем этот неопределенный интеграл методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем ln(x), а в качестве d(v(x)) оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть dx.

Имеем,  , где  .

Дифференциал функции u(x) есть  , а функция v(x) – это  .

ЗАМЕЧАНИЕ: константу С при нахождении функции v(x) считают равной нулю.

Теперь все подставляем в формулу интегрирования по частям:

Ответ:

.