[Править]Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции   в точке   называется предел, если он существует,

[Править]Общепринятые обозначения производной функции в точке

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

14) Физический   Изменения проявлений каких-либо свойств или состояний смысл      объектов реального мира мы обычно связываем с течением реального   ("физического")  времени,   При  этом,   мы легко выделяем направленность подобных изменений ("возрастание", "убывание") и  их  количественную  значимость,   отнесенную  к  единице измерения временного интервала наблюдения (т. е., "скорость" изменений).

Именно указанная особенность отражения в нашем сознании восприятия изменений окружающего мира позволяет рассматривать численное значение производной y'(x) как количественную меру мгновенной скорости изменения исходной функции y(x) в точке х. Если y'(x) > 0, то функция y(x) в точке х возрастает. Если y'(x) < 0, то функция y(x) в точке х убывает. Если y'(x) = 0, то функция y(x) в точке х неизменна (т.е., скорость изменения y(x) в точке х равна нулю).

Если аргументом исходной функции является физическое время t, а сама функция описывает перемещение реального тела в физическом пространстве S=S(t), то термин "мгновенная скорость V(t)" имеет буквальный смысл, принятый в современной Физике (Механике Ньютона):

s: = f = v(t)

В случае аргументов иной природы, выражение "скорость изменения функции" имеет условно-иносказательный смысл.

Следует иметь в виду, что в научной и учебно-справочной литературе по   Теоретической   Механике,   с   основами   которой студенты физкультурно-педагогических   ВУЗов    обычно   знакомятся при изучении Биомеханики, производная по времени обозначается не штрихом, а точкой над знаком дифференцируемой функции:

St = ж => S (t) = V(t).

Геометрический смысл

25

Графическое отображение функциональной зависимости y(x) на декартовой плоскости xOy позволяет "одним взглядом" оценить все особенности "поведения" y(x) сразу во всей ОДЗ. При этом, различным скоростям изменения функции по мере изменения аргумента x (см. выше) на графике будут соответствовать его участки, имеющие различную "крутизну" увеличения (или уменьшения) координаты y ("высоты над уровнем оси абсцисс") по мере увеличения координаты x.

Можно образно сказать, что изучение графика функции y(x) подобно пешему путешествию по доселе неизвестной пересеченной местности, изобилующей подъемами и спусками (крутыми и пологими), холмами и оврагами, горами, ущельями, плато, долинами и т. п., и т. д.

Производная y'(x) численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику исходной функции y(x) в точке х.

Если y'(x) > 0, то касательная к графику y(x) в точке х имеет положительный наклон относительно горизонтали.

Если y'(x) < 0, то касательная к графику y(x) в точке х имеет отрицательный наклон относительно горизонтали.

Если y'(x) = 0, то касательная к графику y(x) в точке х параллельна оси абсцисс (т.е., сама является горизонталью).

касательной

и нормали

Уравнения Геометрия изучает разнообразные линии ("кривые"), фигуры, "объемные" тела и т.п. объекты, ранее определенные как "геометрические места точек" (см. Вып.1). Внешний вид указанных объектов (с различных точек зрения) может изображаться на плоских чертежах. (Начертательная Геометрия). При анализе свойств таких изображений (а, следовательно, - и самих изучаемых объектов!) часто используют особые прямые вспомогательные линии - касательные и, перпендикулярные им, нормали (см. Рис. 2.1 справа).

15) -------

16) В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи валгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)' = u'±v'

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)' = u' — v' + w'

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)' = u'v + uv'

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)' = cv' (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в контрольных по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Еели у = f(x) и х = ф (у) — взаимно обратные дифференцируемые функции, то

17) Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:  где α – бесконечно малая в окрестности   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке   и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке   равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки   равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.