18. Метод Якоби
Возьмём систему линейных уравнений:
,
где
Или
Для
того, чтобы построить итеративную
процедуру метода Якоби, необходимо
провести предварительное преобразование
системы уравнений
к
итерационному виду
.
Оно может быть осуществлено по одному
из следующих правил:
где
в принятых обозначениях D означает
матрицу, у которой на главной диагонали
стоят соответствующие элементы матрицы
A, а все остальные нули; тогда как матрицы
U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные
части A, на главной диагонали которых
единицы( см. LU-разложение
), E — единичная матрица.Тогда процедура
нахождения решения имеет вид:
где
k счётчик итерации.В отличие от метода
Гаусса-Зейделя
мы не можем заменять
на
в
процессе итерационной процедуры, т.к.
эти значения понадобятся для остальных
вычислений. Это наиболее значимое
различие между методом Якоби и методом
Гаусса-Зейделя решения СЛАУ.
Таким образом на каждой итерации
придётся хранить оба вектора приближений:
старый и новый.
Условие сходимости
Приведем достаточное условие сходимости метода.
Теорема.
Пусть
.
Тогда при любом выборе начального
приближения
:
метод сходится;
скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем
;
верна
оценка погрешности:
.
Условие остановки
Условие
окончания итерационного процесса при
достижении точности
в
упрощённой форме имеет вид:
Существует
более точное условие окончания
итерационного процесса, которое более
сложно и требует дополнительных
вычислений.
21. Метод хорд.
П
усть
дана ф-ция F(x) = 0 на [a, b], причем F(a)*F(b) <
0. Для определенности предпол., что
F(a)<0 а F(b)>0, тогда поделим отрезок
[a,b] на F(a)/F(b). (x-a)/(b-a)=(y-f(a))/(f(b)-f(a));
Допустим X=X1,
y=0;
X1=a
– (f(a)
/ (f(b)-f(a)))*(b-a)
по этой ф-ле можно записать итерац.
процесс X1=a+h,
где
h1=-f(a)/(f(b)-f(a))
Докаж. сходим. итер. процесса будем
предполагать, что корень f(x)
определен и
сохр.
знак. на [a,b].
Имеем 2 сл. f(a)>0
и f(a)<0
1)a>0
;
2)
a<0
Т.е.1) неподвиж. тот конец , для кот. знак ф-ции совпад. со знаком втор. производ. 2)Послед. приближен. Xn лежат по ту сторон. X*, где f(x) имеет знак противоп знаку ее 2-ой произв. Критерий остановки |Xn+1 - Xn|< ε
22. Геометрическая иллюстрация метода касательных.
Г
еометрически
прямая параллельная первой касательной
. т.е. здесь касательная заменяется на
прямую, паралл. первой касательной.
Теорема
о методе касательных.
Если ф-ия f(a)*f(b)>0, причем вторая призводная сохраняет знак на отрезке [a,b], то исходя из любого начального приближения х0Є[a,b], удовл. условию f(х0) f”( х0)>0 то можно вычислить корень ур-я с любой степенью точности. Док-во: f(a)<0; f(b)>0; f”(x)>0; f’(x)>0, т.е. f(b) f”(b)>0 x0=b. Методом индукции докажем что, все xn>x*. Т.е. f(xn)>0, очевидно х0>x*. Путь хn>х*. Представим х*=хn+(х*-хn) по форм. Тейлора f(x*)=f(xn)+f’(xn) (х*-хn)+1/2 f”(xn) (х*-хn)2, тогда f(xn)-f’(xn) (х*-хn)<0 хn+1=xn(+)-f(xn)/f’(xn)>x*. Ч.т.д.
Видоизмененный метод касательных.
X
(n+1)=Xn-f(Xn)/
(Xn).
Если производная исходной ф-ции меняется
мало на [a,b] то можно предположить
f(Xn)≈f(X0) X(n+1)=Xn-f(Xn)/
(X0) Это дает воз-ть не вычисл. зн-е произв.
в каждой (.).
Геометрически
прямая параллельная первой касательной . т.е. здесь касательная заменяется на прямую, паралл. первой касательной