8.Общий линейный метод наименьших квадратов

При аппроксимации методом наименьших квадратов аппроксимируемая функция f задается набором N точек (xi , yi ). Аппроксимирующая функция g строится, как линейная комбинация базисных функций Fj (количество функций M обычно меньше числа точек N)

При этом коэффициенты cj выбираются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданных значений

Иногда, если различным точкам назначен различный вес wi , каждое слагаемое в сумме квадратов умножается на квадрат соответствующего ему веса:

Такая задача называется построением взвешенной аппроксимации по МНК. Следует отметить, что выбор именно такого способа аппроксимации (линейной комбинации базисных функций) и именно такой оценочной функции (суммы квадратов отклонений) является далеко не единственно возможным. Базисные функции могут входить в функцию g нелинейно, а оценочная функция E может быть заменена максимумом отклонения или любой другой функцией оценки. Однако именно такой способ аппроксимации с такой оценочной функцией позволяет нам найти наилучшие cj за конечное число операций, сведя задачу к решению системы линейных уравнений.

11.Метод Гауса

Гауссовы квадратуры - очень мощное средство интегрирования, позволяющее строить формулы на основе N точек, точные для полиномов степени 2N-1. Другим ценным свойством является возможность вычислять с такой же степенью точности не простые интегралы, а интегралы вида для некоторой наперед известной функции W(x). При этом функция W(x) может быть достаточно сложной, в том числе и имеющей интегрируемые сингулярности.

Гауссова квадратура определяется для заданных пределов интегрирования [a, b], весовой функции W(x) и числа узлов N. Для каждого такого набора параметров существует свой набор узлов xi и весов wi , определяющий квадратурную формулу:

Эта квадратурная формула точна для полиномов степени 2N-1 и ниже. Высокая точность Гауссовых квадратур достигается за счет специального выбора не только весовых коэффициентов wi , но и узлов xi

Следует понимать, что Гауссовы квадратуры эффективны только для гладких подинтегральных функций f(x). Т.е. произведение W(x)f(x) может быть негладкой функцией, но f(x) должна быть гладкой, иначе квадратурная формула потеряет часть своей феноменальной точности.

12.Правило Рунге, Ричардсона

Правило Рунге оценки погрешностей. Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную , где p - порядок метода.

14.Метод Эйлера

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках . Точки , называются узлами сетки, а величина h - шагом сетки. В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом. Простейший метод основан на замене левой части уравнения правой разностной производной: . Разрешая уравнение относительно , получаем расчетную формулу метода Эйлера: , .