5. Сплайны.

Сплайнами называется функция, которая, вместе со своими несколькими производными непрерывна на отрезке [a,b], а на каждом отрезке [xi,xi+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом (для каждого отрезка может быть свой порядок многочлена). Причём, если выполняются условия интерполяции, и существуют производные функции в узловых точках, то интерполяционный кубический сплайн (сплайн третьей степени) задаётся единственным образом.

Задача интерполяции функции y=f(x) на отрезке [a,b] кубическим сплайном состоит в нахождении функции S(x), равной многочлену третьей степени Si (x) на каждом отрезке [xi-1,xi] (i=1,2,…,n), т.е. S(x)=Si(x)=ai0x3+ai1x2+ai2x+ai3 .

Причём:

Рассмотрим случай разбиения отрезка [a,b] на n равных частей с шагом h, для которого x0=a, x1=x0+h ,…, xi+1=xi+h ,…, xn=b и h=(b-a)/n.

Тогда кубический сплайн вычисляется по формуле:

Si=(xi+1-x)2[2(x-xi)+h]fi/h3+(xi-x)2[2*(xi+1-x)+h]*fi+1/h3+(xi-1-x)2(x-xi)mi/h2+(xi-x)2(x-xi+1)mi+1/h2

Главная проблема – найти наклоны сплайна mi :

Различают несколько способов задания интерполяционного кубического сплайна (в частности наклонов mi):

Упрощённый:

fi=f(xi)

mi=(fi+1-fi-1)/2h, i=1..n-1

m0=(4f1-f2-3f0)/2h

mn=(3fn+fn+2-4fn-1)/2h

Применяется, когда неизвестны или сложно вычислить f’(xi).

Если известны f’(xi),

то mi=f’(xi), i=0..n.

I-й и II-й способы называются локальными, т.е. сплайн строится независимым способом на каждом участке в отдельности, а условия сглаживания этих отдельных сплайнов выполняется автоматически за счёт условий интерполяции. Для того чтобы повысить дефект сплайна (должна быть непрерывна хотя - бы вторая производная), применяют глобальный способ задания наклонов.

Максимальный порядок какого-то многочлена некоторого отрезка называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и порядком наивысшей производной какого-то отрезка называется дефектом сплайна.

Глобальный способ задания наклонов сплайна:

Все параметры определяются по всей совокупности условий на всём отрезке [a,b]:

В матричном виде:

A*X=B

A=

X=

Bi=3(fi+1-fi-1)/h, i=(2,3,…,n-2)

B1=3(f2-f0)/2-m0

Bn=3(fn-fn-2)/h-mn

В силу того, что матрица системы трёхдиагональная, т.е. (n-1)2 числа, ненулевых элементов имеем 3(n-1). Для данной системы с большим числом нулей матрицы A очень эффективен метод «прогонки».

Погрешности:

Получены априорные оценки погрешностей: max|f(l)(x)-Sn(l)(x)|≤c*hk+1-c*max|f(k+1)(x)|,

[a,b]

где l-номер производной (при l=0-сама функция).

При l=0, n=3,k=3: max|f(x)-S3(x)|≤ch4max|f(4)(x)|=c1h4, т.е. погрешность пропорциональна h4[a,b]

6.Равномерное приближение функций пол-ми

Близость полинома Pn(x,a) к таблично заданной функции f(xk), , можно оценить величиной модуля их разности

(1)

Если m=n+1, то можно построить полином, обеспечивающий выполнение условия D(xk ,a)=0, k=1,2,..m, т.е. решить задачу интерполирования.

При m > n+1 интерполяция нереализуема, но возможно построение полинома Pn(x,a*), который минимизирует модуль уклонения в узлах сетки, т.е.

(2)

Такой полином называется полиномом наилучшего равномерного приближения табличной функции.

Для m=n+2 задача нахождения полинома наилучшего равномерного приближения получила название задачи чебышевской интерполяции (но интерполирование в обычном смысле здесь невозможно и название отражает лишь историческую реальность).

Необходимым и достаточным условием построения чебышевского интерполяционного полинома является выполнение условия:

D(xk,a)=(-1)k h, k=1,...,m (3)

При этом |h| = r. Таким образом, функция уклонения D(xk ,a) изменяет свой знак при переходе от узла к узлу, но по модулю во всех узлах одинакова.

Задача чебышевского интерполирования, не представляя самостоятельного практического интереса, является инструментом решения общей задачи наилучшего равномерного приближения при m>n+2. В этом случае проблема сводится к нахождению среди m узлов таблицы такой сетки S*, состоящей из n+2 узлов, на которой величина уклонения чебышевского интерполяционного полинома м а к с и м а л ь н а, т.е. .

Основная трудность построения искомого полинома заключается в разумной организации перебора возможных сеток Si (их общее число, даже при умеренных величинах m, громадно). Одним из наиболее эффективных методов решения этой задачи является R-алгоритм, исследование которого предполагается в ходе численных экспериментов.

Построение полинома наилучшего равномерного приближения непрерывной функции f(x), , можно рассматривать как предельный переход в рассмотренной выше дискретной задаче при . К сожалению, нет общих оценок для определения величины m, при которой решения дискретной и непрерывной задач достаточно близки. Можно принять значение mk приемлемым при выполнении условия r(S*,mk) - r(S*,mр) <= e, где mk < mр и e - заданная мера точности решения.