23. Метод Ньютона решения систем.

или _F(_x)=0. Предположим что найдено _х=(х1(p), х2(p),… хn(p)) одного из его корней, тогда точный корень _х=_х(р)+_Е(р)_ Е(р)=(Е1(р), Е2(р), Е(р))-явл погрешностью (поправкой) т.е. ур-е может быть записано _F(_x(p)+_E(p))=0 Разложим левую часть ур-я по степеням Е, ограничевшись линейными членами _F(_x(p)+_E(p))=F’(_x(p))E(p) Препишем это ур-е в развёрнутом виде Fn(x1(1)+E1(p)…xn(p)+En(p)) = Fn(x1(p)…xn(p)) + F’nx1(x1(p)…xn(p))E1(p) + Fn’x2(x1(p)…x(p))En(p) + F’nxn(x1(p)…x4(p))En(p)т.е. матр F’(x)-явл матрицей Якоби F’(x)=w(x) Иначе F’(x)=w(x)=[fi / xj] i, j=_(1,n) и исходная система примет вид (x(p))+w(x(p))E(p)=0 Подставив в исходное мы получим x(p+1)=x(p)-w-1(_x(p))_F(_x(p)) сист методом Нютона. (Примечание: _X – иск с чертой)

24. Метод скор. Спуска решения систем.(grad)

Grad-задаёт направление. Предположим что все fi непрерыв диф-мы Рассмотрим ф-ю u(x)=(_f(_x);_f(_x))= ф-я сама на себя скалярная = (i от 1 до n)(fi(_x))2. Очевидно что каждое решение исход сист обращ в 0 ф-ю u(x) и наоборот те числа обращают в 0 ф-ю u(x) явл решеним исх сист. Предположим что исх сист имеет лишь решения которые явл (.) мин ф-ии u таким образом задача сводится к нахождения (.) мин ф-ии u. Пусть _х – решение сист _х(0) – нулевое приблежение. В (.) _х(0) проведём поверхность уровня u(x)=u(xi0), если нач (.) близка к решению, то поверхность похожа на эллипсоид . Из(.) х(0) будем двигаться по нормали поверхности u(x)=u(x0) до тех пор пока нормаль не каснётся другой поверхности уровня u(x)=u(x(1)) Затем отправляемся из (.) х(1) по нормали поверхности уровня u=u(x(1)) до тех пор пока эта нормаль не каснётся поверхности уровня в (.) х(2) и т.д. Очевидно что u(x(0))>(u(x(1)))>(u(x(n))), т.е. прийдём к (.) мин ф-ии, а этот минимум явл реш исх сист (рис1), grad U. X(p+1)=x(p) - Лp U(x(p)), Лр – нек коэф на каждом шаге задача состоит в том что бы его найти. Ф(Л)=U(x(p) - Л U(x(p)) эта ф-я задет изменения ф-ии уровня и вдоль соотв нормали к поверхности уровня в (.) х(р) Множ Л=Лр нужно выбирать таким образом, что бы ф-я φ(Л) имела мин т.е. U(x(p) – ЛNU(x(p)) наим положит корень это и есть Л. Получ сист ур-й будем решать численно, поскольку предпол., что Л мало, то будем брать только лин. члены разлож ф-ии в ряд Тейлора x(p)=x(p) - μpwT (xP)f(x(p)) где μр=2Лр=

11. Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.