Вопрос 7. Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод из (10) в другую:

-целочисленно разделить исходное число на основание новой системы счисления и найти остаток от деления – это будет цифра нулевого разряда.

-частное от деления основания целочисленно разделить на основание новой с.с. с выделением остатка до тех пор пока частное от деления не окажется < основания новой с.с.

-записать остатки, поставленные в порядке, обратном их получения. Перевод в (10):

-для этого используют формулу:

Zp=ak-1*pk-1+ak-2*pk-2+…+

+a1*p1+a0*p0

p- основные СС, k – общее число цифр, z – любое число.

Работа с дробными числами.

Из (10) в другую:

-умножить исходную дробь в (10) с.с. на основание новой с.с., выделить первую часть -она будет первой цифрой дроби, отбросить целую часть.

-для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной части повторить, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута желаемая точность конечного числа.

-записать дробь в виде последовательности цифр после поля с разделителем в порядке их исчисления. Перевод O,Y(P) в O,Y(10) сводится к вычислению значения формулы в десятичной системе счисления:

Zp=ak-1*pk-1+ak-2*pk-2+…+

+a1*p1+a0*p0

Примечание: после перевода дроби, которая была конечной в исходной с.с., дробь может оказаться бесконечной в новой системы. Соответственно, рациональное число в исходной системе может после перехода превратиться в иррациональное. Справедливо и обратное.

Вопрос 8. Арифметические операции в двоичной системе счисления и представление чисел в других системах.

Рассмотрим, как с беззнаковыми числами выполняются арифметические операции, не меняющие типа числа.

Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

В последнем случае в том разряде, где находились слагаемые, оказывается 0, а 1 переносится в старший разряд.

Примеры: 0101 + 1100 и т.п.

0101

+ 1100

10001

Умножение производится согласно таблице умножения, которая для двоичных чисел имеет вид:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0

1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Примеры: 1101 * 101 и т.п.

1101

* 101

1101

+ 0000

1101

1000001

Таким образом , умножение двоичных чисел сводится к операциям сдвиг на один двоичный разряд влево и повторения первого сомножителя в тех разрядах, где второй сомножитель содержит 1, и сдвига без повторения в разрядах с 0.

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много однородных цифр. Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств используются системы счисления с основанием 8 и 16.

Представление чисел в системах счисления

10-ная	2-ная	8-ная	16-ная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F