Вопрос 6. Системы счисления. Понятие систем счисления. Виды и группы систем счисления.

( Системы счисления (СС). Числа в комп. Записываются в двоичной СС, для записи отводится конечное кол-во разрядов. СС – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков и цифр. Группы записи чисел: 1-унарная – СС, в кот. Для записи числе используется только один знак |. Следующий получается из предыдущего + новая |. 2- непозиционные, в кот. Некоторые базовые числа обозначаются лат. Буквами. 1|, 5V, 10X, 50L, 100c, 500D, 1000M. если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются, если слева - меньшее вычитается из большего. I, X, C, M могут следовать подряд не более трех раз каждая, а V, L, D не более одного раза. 3-позиционные – СС, в кот. Значения каждой цифры в изображении числа определяются её позицией в ряду других цифр. Общим для унарной и римской СС является определение цифр пол средствам операций сложения и вычитания базисных цифр, из кот. Составлено число независимо от их позиции. Такие системы – аддитивно-мультипоикативные, т.к. значение числа определяется операциями * и +. 46. Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую. Перевод из (10) в другую:

-целочисленно разделить исходное число на основание новой системы счисления и найти остаток от деления – это будет цифра нулевого разряда.

-частное от деления основания целочисленно разделить на основание новой с.с. с выделением остатка до тех пор пока частное от деления не окажется < основания новой с.с.

-записать остатки, поставленные в порядке, обратном их получения. Перевод в (10):

-для этого используют формулу:

Zp=ak-1*pk-1+ak-2*pk-2+…+

+a1*p1+a0*p0

p- основные СС, k – общее число цифр, z – любое число.

Работа с дробными числами.

Из (10) в другую:

-умножить исходную дробь в (10) с.с. на основание новой с.с., выделить первую часть -она будет первой цифрой дроби, отбросить целую часть.

-для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной части повторить, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута желаемая точность конечного числа.

-записать дробь в виде последовательности цифр после поля с разделителем в порядке их исчисления. Перевод O,Y(P) в O,Y(10) сводится к вычислению значения формулы в десятичной системе счисления:

Zp=ak-1*pk-1+ak-2*pk-2+…+

+a1*p1+a0*p0

Примечание: после перевода дроби, которая была конечной в исходной с.с., дробь может оказаться бесконечной в новой системы. Соответственно, рациональное число в исходной системе может после перехода превратиться в иррациональное. Справедливо и обратное.)

Представление чисел в компьютере по сравнению с известными формами имеет два отличия: 1) числа записываются в двоичной системе счисления; 2) для записи и обработки чисел отводится конечное количество разрядов.

Способ представления чисел определяется системой счисления.

Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр. Людьми использовались различные способы записи чисел, которые можно объединить в несколько групп: унарная, непозиционные и позиционные.

1 группа. Унарная – это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак – I («палочка»). Следующее число получается из предыдущего добавлением новой I единицы, их количество равно самому числу.

для записи числа в унарной системе используется обозначение Z1.

2 группа. Из непозиционных наиболее распространенной можно считать Римскую систему счисления. В ней некоторые базовые числа обозначены заглавными латинскими буквами: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Все другие числа строятся комбинаций базовых в соответствии со следующими правилами:

1. Если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются, если слева – то меньшее значение вычитается из большего.

2. Цифры I, X, C, M могут следовать подряд не более трех раз каждая.

3. Цифры V, L, D могут использоваться в записи числа не более одного раза.

Например: XIX – 19, MDXLIX – 1549.

Запись чисел в такой системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным оказывается выполнение в ней даже самых простых арифметических операций.

3 группа. В настоящее время для представления чисел применяются позиционные системы счисления.

ОПР2. Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Наиболее распространенной и привычной является система счисления, в которой для записи чисел используется 10 цифр. Число представляет собой краткую запись многочлена, в который входят степени некоторого другого числа – основания системы счисления.

Например: 272, 12 = 2 * 102 + 7 * 101 + 2 * 100 + 1 * 10-1 + 2 * 10-2.

//В истории человечества имеются свидетельства использования других систем счисления – пятиричной, шестиричной, двенадцатиричной и т.п.

Общим для унарной и римской систем счисления является то, что значение числа в них определяется посредством операций сложения и вычитания базисных цифр, из которых составлено число, независимо от их позиции в числе. Такие системы получили названия аддитивных.

В отличие от них позиционное представление считается аддитивно-мультипликативным, поскольку значение числа определяется операциями умножения и сложения.

По принципу, положенному в основу десятичной системы счисления можно построить системы с иным основанием. Пусть p – основание системы счисления, k – общее число цифр числа, тогда любое число Z может быть представлено в виде многочлена со степенями р: Zp = ak-1 * pk-1 + ak-2 * pk-2 + … + a1 * p1 + a0 * p0. (*)

Первое допустимое значение р = 2 – оно является минимальным для позиционных систем. Система счисления с основанием 2 называется двоичной. Цифрами двоичной системы являются 0 и 1, а форма представления числа строится по степеням 2.