Модели роста с насыщением
Простейшая модель роста выражается следующим образом:
или, решив относительно x
,она же экспоненциальная модель роста.
Такая модель не предполагает ограничение функции (т.е. отсутствие насыщения) и неприменима, когда значение функции достигает «слишком большого значения». Примером модели может служить рост населения в определенный период времени до наступления насыщения. В книге В.И. Арнольда «Жесткие и мягкие мат. Модели» приводится пример с ростом науки в период 1700-1950 годов.
Модель с насыщением предполагает уменьшение роста функции (например, количества людей) со временем в силу некоторых внешних причин (войны, болезни, нехватка ресурсов и т.д.), т.е. достижения насыщения.
Для этого, в исходной формуле вводится зависимость k от x. В простейшем случае получается логистическая функция, для которой справедливо следующее k:
Упрощая, положим a = b =1, тогда
или, решив относительно x
На правом графике видно, что сначала функция x(t) ведет себя как простейшая функция роста (экспоненциальная кривая), однако после устремляется к уровню B, который и определяет ее насыщение.
Концепция сплошной среды
Несмотря на то, что вещество определяется как «вид материи, состоящий из дискретных образований», существуют модели вещественного континуума, например, концепция сплошной среды.
Пусть ΔV – некоторый объём, содержащий частицы вещества, суммарная масса которых равна Δm. Отношение Δm/ΔV, характеризующее плотность среды как массу в единице объёма, вообще говоря, зависит от величины ΔV. Эта зависимость тем заметнее, чем более неоднородна среда в пределах ΔV. С уменьшением объёма зависимость ослабевает и величина Δm/ΔV обнаруживает тенденцию стремиться к некоторому пределу, который и принимают за значение плотности среды ρ в той точке, куда сжимается ΔV. Однако фактически этот процесс не доводят до конца, так как зависимость от величины объёма появляется снова, когда число частиц в нём становится невелико. Важно, что существует масштабный интервал ΔV, в пределах которого отношение Δm/ΔV остаётся постоянным. Запись ρ = lim(Δm/ΔV) при ΔV → 0 означает, что обнаруженная закономерность экстраполируется по ΔV вплоть до нуля. Это позволяет использовать математику бесконечно-малых величин, т.е. аппарат дифференциального и интегрального исчисления.
Изложенная концепция широко применяется в гидроаэродинамике, теории упругости, теории пластичности и в других областях механики сплошных сред. Наряду с плотностью ρ таким же образом вводятся давление p , температура T, вектор скорости ū и другие характеристики среды. Они называются макропараметрами, потому что определяются в масштабе ΔV, большом по сравнению с размерами молекул. Сверху объём ΔV ограничен характерными размерами неоднородностей этих макровеличин. Типичный масштабный интервал формирования целостных параметров макромира можно оценить как 10-8 – 10-3 м, т.е. примерно в 5 порядков. В микромире выделяются атомный и ядерный уровни, в мегамире – планетарный, звёздный, галактический.
Модели с вычитанием: отлов, рэкет, налоги
Начало см. в «2. Модели роста с насыщением»
Рассмотрим модель отлова рыбы в озере: пусть логистической функцией описывается количество рыб в озере (популяция), константа c определяет количество отлавливаемой рыбы. Тогда, дифференциальное уравнение такой модели можно записать в виде:
(см. пункт 2, просто
теперь вычитаем c)
Для исследования зависимости числа рыб в озере от величины отлова с, решим следующие уравнение:
оно же,
Решив уравнение, получаем три возможных случая (см. рисунок):
а) Если c < ¼ , то существуют два возможных состояния.
Состояние B устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше, чем необлавливаемая, но она восстанавливается при малых отклонениях x от равновесного значения B.
Состояние A неустойчиво: если вследствие каких-либо причин (скажем, браконьерства или мора) размер популяции упадет хоть немного ниже уровня A, то в дальнейшем популяция (хотя и медленно, если отличие от A невелико) будет уничтожена полностью за конечное время.
б) Если c > ¼ , при любом начальном размере популяции, она будет уничтожена.
в) Если c = ¼ , критическая точка, при которой популяция ещё не уничтожается, но и прибыль от отлова максимальная. Это решение является оптимальным, но неустойчивым, т.к. любой внешний фактор, негативно влияющий на популяцию, переведет в состояние (б), что в свою очередь означает гибель всей популяции.
Для решения этой проблемы возможно применение модели с обратной связью (см. «6. Модели с обратной связью. Обретение устойчивости»).