Двоичная арифметика
Арифметические действия с числами в любой позиционной системе аналогичны. В частности, для двоичной системы арифметические правила, учитывая объем двоичного алфавита, имеют вид:
- сложение: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10
- вычитание : 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1; 100 – 1 = 11; 1000 – 1 = 111 и т. д.
- умножение: 0 * 0 = 0; 1 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 1 = 1.
Примеры: 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
+ 1 0 1 0 - 1 0 1 0 х 1 0 1 0 - 1 0 1 0 1 0, 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 1 - 1 0 1 0
1
1 1 1 1 0 1 0 0
Представление чисел в компьютере Целые числа без знака
Целые числа без знака обычно занимают в компьютере один, два или четыре байта
Таблица 2.1
Формат числа в байтах |
Количество двоичных разрядов числа |
Диапазон чисел |
1 |
8 |
0 ÷ 255 |
2 |
16 |
0 ÷ 65 535 |
4 |
32 |
0 ÷ 4 294 967 295 |
Целые числа со знаком
Целые числа со знаком также занимают один, два или четыре байта, при этом самый левый разряд отведен для кода знака числа: «0» - положительное число, «1» - отрицательное число. Поэтому разрядность и диапазон значений этих чисел меньше указанных в табл. 2.1.
Таблица 2.2
Формат числа в байтах |
Количество двоичных разрядов числа |
Диапазон чисел |
1 |
7 |
- 128 ÷ - 127 |
2 |
15 |
- 32 768 ÷ 32 767 |
4 |
31 |
- 2 147 483 648 ÷ 2 147 483 647 |
В компьютере применяется три формы кодов записи целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.
Положительное число имеет одинаковые прямой, обратный и дополнительный коды – двоичное число и цифра 0 в разряде для знака.
Пример. Запись числа 1100101 в однобайтовом формате:
-
0
1
1
0
0
1
0
1
з
нак
числа «+»
Отрицательное число имеет разные прямой, обратный и дополнительный коды.
Прямой код отрицательного числа содержит цифру 1 (знак числа ‘-‘) и абсолютную величину двоичного числа.
Обратный код отрицательного числа содержит цифру 1 и инвертированные (замененные на 1 нули и замененные на 0 единицы) цифры прямого кода.
Дополнительный код - это обратный код с прибавленной единицей в младшем разряде.
Пример. Записать число – 11101 в прямом, обратном и дополнительном кодах однобайтового формата. Прямой код:
-
1
0
1
1
1
1
0
1
Обратный код:
-
1
1
0
0
0
0
1
0
Дополнительный код:
-
1
1
0
0
0
0
1
1
Представление в компьютере чисел в обратном и дополнительном кодах широко применяется, так как позволяет выполнять арифметические действия с числами только при помощи операций сложения и сдвига регистра. Это дает возможность упростить устройство центрального процессора компьютера.
Обычно отрицательные числа при вводе в компьютер автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.