41. Свойства дисперсий.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Перечисленные свойства дисперсии используются при вычислениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

42. Правила сложения дисперсий.

Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

=

Межгрупповая дисперсия систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Оно рассчитывается по формуле:

Где х_iи – соответственно средняяi-ой группы и общая средняя варьирующего признака х

f_i – частота i-ой группы

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов, не зависящих от признака-фактора, положенного в основание группировки. Данная группировка рассчитывается для каждой i-ой группы по формуле:

σ_i² =

Где x_i– значение признака у отдельных элементов совокупности

f_i - число единиц в группе i

Для всех групп в целом вычисляется средняя из межгрупповых дисперсий, исчисляемая по формуле:

Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название Правила сложения дисперсий, в соответствии с которым:

,

т.е. согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые 2 вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается ƞ(эта) и рассчитывается по формуле:

Ƞ ϵ [0;1]

Если: 1) от 0 до +-0,3 – связи нет

2) от 0,3 до +-0,5 – связь слабая

3) от 0,5 до +-0,7 – связь умеренная

4) от 0,7 до +-1 – сильная связь

43. Выборочный метод наблюдения: сущность и значение.

Выборочным называется такое несплошное наблюдение, при котором признаки регистрируются у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности, отобранных с использованием специальных методов, а полученные в процессе обследования результаты с определенным уровнем вероятности распространяются на всю исходную совокупность. К наиболее распространенным на практике видам выборочного наблюдения относятся:

1. Собственно-случайная выборка (простая случайная)

2. Механическая (систематическая)

3. Типическая (стратифицированная, расслоечная)

4. Серийная (гнездовая)

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или безповторным. При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. При безповторной выборке попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует.

Выборочное наблюдение, как бы грамотно с методологической точки зрения оно ни было организовано, всегда связано с определенными, пусть небольшими и измеряемыми ошибками. Случайные ошибки выборки обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные хар-ки будут несколько различаться. Поэтому получаемые случайные ошибки должны быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка такиз ошибок и является основной задачей, решаемой в теории выборочного наблюдения. Обратной задачей является определение такой минимально необходимой численности выборочной совокупности, при которой ошибка не превысит заданной величины.

Собственно-случайная выборка.

Ее суть заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.

После проведения отбора с использованием одного из алгоритмов, реализующих принцип случаййности, или на основе таблицы случайных чисел, определяются границы генеральных характеристик. Для этого рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формуле:

Где σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака

n – объем (число единиц) выборочной совокупности

Предельная ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения предельная ошибка выборки составит:

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

При определении границ генеральной доли при расчете средней ошибки выборки используется дисперсия альтернативного признака, которая вычисляется по следующей формуле:

σ²_w = w(1 – w)

Где w – выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.

При решении отдельных задач необходимо учитывать, что при неизвестной дисперсии альтернативного признака можно использовать ее максимально возможную величину, равную 0,25.

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

Где N– объем (число единиц) генеральной совокупности

Необходимый объем С-Сл повторной выборки определяется по формуле:

n

Если отбор бесповторный, то формула приобретает следующий вид:

n =

Полученный на основе использования этих формул результат всегда округляется в большую сторону до целого значения.

Механическая выборка.

Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процессом отбора. Прирешение задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать приведенные выше формулы, применяемые при С-Сл бесповторном отборе.

Типическая выборка.

Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования С-Сл или механической выборки.

Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле:

1)При повторном отбореμ

2)При бесповторном отбореμ

Тут вместо обычно дисперсии Средняя из внутригрупповых, просто не могу значок этот поставить)

При определении необходимого объема типической выборки учитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

1)При повторном отборе n

2)При бесповторном отбореn =

Та же самая ситуация ↑

Полученное значение общего объема выборки необходимо распределить по типическим группам пропорционально их численности, чтобы определить, какое количество единиц следует отобрать из каждой группы:

Где N_i – объем i-ой группы

n_i – объем выборки из i-ой группы

Серийная выборка.

Эта выборка используется, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием С-Сл или механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.

В основе расчета средней ошибки серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:

1)При повторном отборе μ

2)При бесповторном отборе μ

Где r – число отобранных серий

R – общее число серий

Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:

δ²

Где х_i– средняяi-ой серии

х – общая средняя по всей выборочной совокупности

Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:

1)При повторном отборе r 2)При бесповторном отбореr =