Вопрос№28. Теорма о связи сущ-ия производной и непрерывности ф-ии в точке.

Теорема: Если y=f(x)-дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке. Обратное утв неверно.

Док-во: Так как ф-ия дифференцируема в т.х₀ , то ее приращение может быть представлено в виде

Вопрос№29 Правила вычисления производных

Пусть ф-ии f(x) и g(x)-дифференц в т.х₀, тогда

1.Производная сумма(разности) 2ух ф-ий ранв сумме(разности) производных этих ф-ий

2.Производная произведения 2ух ф-ий равна произведению производной первого сомножителя на 2ой + произведению 1ого сомножителя на производную 2ого.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак производной

4.Производная частного вычисляется по формуле

Вопрос№30 таблица производных Вопрос№31 Теорема о производной сложной ф-ии

Пусть y=f(u), u=Ф(x), тогда y=f(Ф(х)) – сложная ф-ия с промежуточным аргументом и независимым аргументом х.

Теорема: Пусть u=Ф(x)-дифференц в т.х₀, а y=f(u) дифферен в т.u₀, где u₀=Ф(х₀), тогда сложная ф-ия y=f(Ф(х)) имеет производную в т.х₀ и справедливо след формула:

Замечание: в данной теореме рассмотрена сложная ф-ия, где у зависит от х через одну промежуточную переменную u. Возможна и более сложная зависимость с 2мя, 3мя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования остается прежним.

Вопрос№32 Теорема о производной обратной ф-ии

Теорема: Пусть ф-ия y=f(x) определена строго монотонна и непрерывна в окрестности т.х0

Тогда если y=f(x) имеет производную в т.х₀ отличную от нуля, то обратная ф-ия также имеет в т.у₀=f(x₀) , конечную отличную от нуля

Вопрос№33 о-ие ф-ии, дифференцируемой в точке.

Операцию вычисления производной ф-ии будем называть операцией дифференцирования

О: Ф-ия y=f(x) наз дифференцируемой в т.х₀ , если ее приращение можно представить в виде

Где А-некоторое число, независящее от , -ф-ия аргумента

Теорема: Для того, чтобы y=f(x) была дифференц в т.х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во:

Вопрос№34 Дифференциал ф-ии и его свойства.

Пусть ф-ия y=f(x) дифференц в т.х₀ тогда ее приращение можно записать в виде суммы 2ух слагаемых.

Рассмотрим слаг. А , оно явл БМ одного порядка

Рассмотри 2ое слаг, , оно явл БМ более высокого порядка чем

Таким образом, 1ое слагаемой при А=(no)0 явл главной частью приращения y=f(x).

О: Дифференциалом ф-ии y=f(x) в т.х₀ наз главная линейная, относительно , часть приращения ф-ии этой точки.

Если А=0 , то в этом случае полагают, что А х явл главной частью приращения. В этом случае dy=0.

Учитывая, что А= , получаем

Если f(x)=x, то

Таким образом

Геометрический смысл дифференциала:

Рассмотрим график производной ф-ии y=f(x)

Проведем касательную к графику в т.М

Дифференциал ф-ия y=f(x) в т.х₀ равен приращению ординаты касательной к графику ф-ии в этой точке, когда х₀ получен приращением