Вопрос№18 Замечательный тригонометрический предел

Теорема: Предел отношения sinуса к его аргументу, при стремлении аргумента к нулю равен 1.

Док-во: Рассмотрим круг радиуса 1. На круге возьмем т.М и соединим с началом координат, угол обозначим за х.

Опустим из т.М перпендикуляр на ОХ получим т.А. Соединим т.М с т. Пересечения окружности с ОХ, получим т.В. Через В проведем прямую перпенд ОХ. Продолжим прямую ОМ до пересечения прямой, которая перпенд ОХ, получим т.N.

Вопрос№19 Число е. Натуральные лог. Замечательный предел.

Теорема Веерштраса: Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится

Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом .Докажем, что она сходится. Для этого согласно теореме Веерштрасса достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная.

1)Докажем возрастание: для этого будем использовать формулу Бинома-Ньютона:

2)Докажем, что {x_n}-ограниченная. Для этого заметим, что каждое выражение в скобках для x_n, т.е. выражение вида , потому если в выражении x_n каждую скобку заменить на 1, то полчим, что

Используя известную формулу

Получим:

Следовательно, по теореме Веерштрасса эта последовательность имеет предел, т.е. существует

Следствие: если последовательность монотонна, но не ограничена, то она ББ, т.е. расходится. Таким образом, любая монотонная последовательность имеет предел. Этот предел конечен. Если послед ограниченная, то она имеет предел, обозначаемый буквой е.

Число е принято за основание натрльных логарифмов: логарфм по основанию е наз натуральным лагаримом и обозначается lnx, т.е. lnx=log_ex

2Ой замечательный предел:

Док-во:

Вопрос№22 Классификация бм.

Ранее мы уже говорили о том, что сумма, разность и произведение БМ- это БМ ф-ии. Отношение 2ух БМ ф-ий может вести себя по-разному. Рассмотрим эти случаи.

Теорема: Предел ф-ии не изменится, если одну БМ заменить на одну эквивалентную ей.

Данную теорему полезно применять при вычислении предела. Основные эквивалентности при вычислении предела:

Вопрос№23Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ии

Теорема: Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т.х₀ и f(x₀)=(no)0. Тогда сущ-ет д>0 такое, что для всех x (x₀-д;х₀+д) ф-ия f(x) имеет тот же знак, что и f(x₀)/

Док-во: Пусть f(x0)>0. Тогда в силу второго о-ия непрерывности ф-ии для любого е>0 сущ-ет д>0 такое, что неравенство |f(x)-f(x₀)|<e выполняется для всех х, удовлетворяющих условю |x-x₀|<д, или, что то же самое, выполняются неравенства f(x₀)-e<f(x)<f(x₀)+e для всех x (x₀-д;х₀+д). Возьмем e=f(x₀). Тогда из левого неравенства получаем: f(x)>0 для всех x (x₀-д;х₀+д).

Если же f(x₀)<0, то рассмотрим ф-ию –f(x). Так как –f(x₀)>0, то по доказанному сущ-ет д-окрестность точки х₀, в которой –f(x)>0 => f(x)<0.