1)Св-ва ф-ий непрерывных в точке

1.Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности т.х₀ и непрерывны в т.х₀, тогда ф-ии

f(x)+g(x) и f(x) g(x) непрерывны в т.х₀

f(x) /g(x) непрерывны в т.х₀ при g(x)=(no)0

2.Если даны y=f(x) и z=g(y). Если y=f(x)-непрерывна в т.х₀, а z=g(y)-непрерывна в т.у₀, где у₀=f(х₀), то z=g(f(x))-непрерывна в т.х₀. Суперпозиция непрерывной ф-ии есть непрерывная ф-ия.

3.Элементарные ф-ии непрерывны во всех точках своей области о-ия, в окрестности которых они определены.

2)Св-ва ф-ий непрерывных на отрезке [a;b]

О: Ф-ия f(x) наз ограниченной на [a;b], если

1ая Теорема Веерштрасса: Всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ия ограничена на этом отрезке. Без док-ва.

2ая Теорема Веерштрасса: Если ф-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Непрерывная на [a;b] y=f(x) достигает наибольшего значения в т.х₁ и наибольшего в т.х₂, значит все значения заключены между m и М

3.Теорема(о промежуточном значении): Если ф-ия непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна т.С, в которой данная ф-ия обращается в 0.

4.Теорема: если ф-ия непрерывная на [a;b] и f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа С, А<C<B

5.Множество значений ф-ии непрерывной на отрезке есть отрезок.

Вопрос№17 Односторонние пределы.

Пусть ф-ия f(x) определена в некоторой правосторонней окрестности в т.х₀, кроме быть может самой в т.х_0.

О:Число А₁ наз правосторонним пределом ф-ии f(x) при х х₀ справа

О:Число А₁ наз левосторонним пределом ф-ии f(x) при х х₀ слева

Пределы ф-ии слева и справа наз односторонними пределами. Однако, если сущ-ет предел ф-ии f(x)=А₀ то и сущ-ют оба односторонних предела.

Справедливо и обратное.

Если сущ-ют оба одностоонних предела и они равны, то сущ-ет предел ф-ии f(x) в т.х₀ =А.

Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на отрезке [a;b], если:

1.Она непрерывна в каждой точке интервала (а;b)

2.В точке х=а непрерывна справа

3.В точке х=b непрерывна слева

Классификация разрывов:

Если в т.х₀ нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что в т.х₀ ф-ия терпит разрыв.

Точку х₀ наз точкой разрыва ф-ии и в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности точки, а именно:

1.Ф-ия определена в окрестности т.х₀, но не определена в самой т.х₀

2.Ф-ия определена в точке и ее окрестности, но не сущ-ет предела

3.Ф-ия определена в точке и ее окрестности. Сущ-ет предел, но этот предел не равен значению ф-ии в т.х₀

Все точки разрыва ф-ии разделяются на точки разрыва 1ого и 2ого рода.

О: Точка разрыва х₀ наз точкой разрыва 1ого рода ф-ии y=f(x), если в этой точке сущ-ют конечные пределы ф-ии слева и справа (вып п2) при этом:

1)Если

А)В т.х₀ ф-ия f(x) – не определена(п1)

Односторонние пределы этой ф-ии конечны и равны, но в т.х₀=0 ф-ия неопределена, т.е. х₀=0-точка разрыва 1ого рода, а именно точка устранимого разрыва.

В)В т.х₀ ф-ия f(x) – определена(п3), но

х₀=0-точка разрыва 1ого рода, а именно точка устранимого разрыва.

2)

Скачок ф-ии-это разность односторонних пределов

О: Если хотя бы один из односторонних предделов не сущ-ет или бесконечен, то в т.х₀ ф-ия не имеет разрыва 2ого рода.