Вопрос№10 бмф. Свойства бмф

Ф-ия y=f(x) наз БМ при х x₀, если

Свойства о БМ (теоремы):

1.Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ

2.Произведение ограниченной ф-ии на БМФ есть БМФ

3.Произведение 2ух БМ есть БМ

4.Произведение БМФ на число есть БМФ

5.Если Z(x)-БМФ, то 1/Z(x) –ББФ и наоборот.

6.Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить в виде

7.Если ф-ию f(x) можно представить в виде ,то f(x) имеет предел=А.

Вопрос№11 Теорема о связи ф-ии и предела

Теорема1: Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить как сумму числа А и БМФ а(х), т.е. если

Док-во:

Это означает, что ф-ия f(x)-А имеет предел=0, т.е. является БМФ, которую обозначим через а(х): f(x)-A=a(x). Отсюда f(x)=A+a(x).

Теорема(обратная1): Если ф-ию f(x) можно представить в виде суммы числа А и БМФ а(х), то число А является пределом ф-ии f(x), т.е. если f(x)=A+a(x), то

Док-во:

Вопрос№12 Определения ббф

О: Ф-ия f(x) наз ББ при x x₀, если

О: Ф-ия f(x) наз ББ при x , если

Вопрос№13 Свойства пределов ф-ии

В силу того, что о-ие предела может быть сформулировано на языке последовательности е, то теоремы о пределах последовательности, а также свойства пределов последовательностей могут быть аналогично сформулированы и для ф-ий и не требуют доп. Доказательств.

Т1: Предел суммы (разности) 2ух ф-ий = сумме (разности) их пределов

Т2: Ф-ия может иметь только один предел. Теорема о единственности предела

Предел произведения 2ух ф-ий = произведению пределов этих ф-ий

Т3: Постонный множитель можно выносить за знак предела

Т4: Предел частного 2ух ф-ий = частному пределов этих ф-ий если предел знаменателя отличен от нуля

Т5: Предел степени с натуральным показателем = той же степени предела

Вопрос№14 Теорема о предельном переходе в неравенстве

Т: Если предел

Док-во (от противного): Пусть выполнены все условия теоремы, но А>В. По о-ию предела следует

Вопрос№15 Теорема о сжатой переменной

Вопрос№16 Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.

О: Пусть ф-ия определена в т.х₀ и в некоторой окрестности т.х_0. Ф-ия f(x) наз непрерывной в т.х₀, если существует предел в этой точке и он равен значению ф-ии в этой точке.

Необходимые условия:

1.f(x) определена в т.х₀ и ее окрестности

2.Сущ-ет

3.

Для непрерывной ф-ии можно переставить знак ф-ии и знак предела

Приведем еще одно о-ие непрерывности ф-ии в точке. Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности т.х₀. Рассмотрим произвольное х из этой окрестности.

х=х-х₀ наз приращением аргумента

Пусть y=f(x) и y₀=f(x₀). Тогда у=у-у₀=f(x)-f(x₀) наз приращением ф-ии

О: Ф-ия y=f(x) наз непрерывной в т.х₀, если БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение ф-ии. Т.е.

Докажем эквивалентность этих о-ий. Пусть y=f(x) непрерывна в т.х₀, тогда согласно первому о-ию выполняется равенство

Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на отрезке [a;b], если:

1.Она непрерывна в каждой точке интервала (а;b)

2.В точке х=а непрерывна справа

3.В точке х=b непрерывна слева

Свойства непрерывных ф-ий.