Вопрос№6 Теорема о единственности…

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Док-во: Будем доказывать теорему от противного. Предположим {x_n} имеет 2 разных предела

Эти неравенства означают, что элемент x_n находится одновременно в окрестности чисел А и В. А они по нашему предположению не пересекаются (А=(no)В), т.е. получим противоречие, т.е. наше предположение неверно.

Вопрос№7 Определение бб и бм

О: Последоват {x_n} наз ББ если для любого положительного числа М существует такой номер N такой, что для всех элементов последовательности с номером n>N выполняется неравенство

О: Последовательность {x_n} наз БМ если для любого положительного числа е(епсилон) существует такой номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство

Установим связь между ББ и БМ последовательностями

Теорема: Если {x_n}-ББ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/x_n}-БМ и обратно. Если {x_n}-БМ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/x_n}-ББ.

Док-во: Пусть {x_n}-ББ. Возьмем е(эпсилон)>0 и пусть М=1/е. По определению ББ последовательности для этого числа М существует такой такой номер N такой, что для всех элементов с номером n>N вып неравенство |x_n|>M. Тогда

А это означает согласно о-ию БМ послед что {1/x_n}-БМ

Вопрос№8 Определение ф-ии.

Числовую величину х назовем переменной величиной если она может принимать различные значения. Обозначим множество значений переменной х через Х (х Х) Х R.

Пусть также сущ-ет множество У, которое является подмножеством множества R (У R)

О: Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент у из множества У, то говорят на множестве Х задана ф-ия у=f(x)

Таким образом, ф-ия определена если задано:

1.Множество х-область определения ф-ии

2.Множество у-множество значений ф-ии

3.Правило сопоставления элемента у элементам х

Переменная х наз независимой переменной или аргументом.

Переменная у наз зависимой от х-переменной или функцией.

Способы задания ф-ии:

1)Табличный. Ф-ия задаеся таблицей значений аргумента и соответствующих им значений функции

2)Графический. Задается график ф-ии значения ф-ии у соответствующие значению х находятся непосредственно из графика. Преимущество: наглядность. Недостаток: неточность

3)Аналитический: Задается в виде одной или нескольких формул или у-ий

Аналитический способ является наиболее совершенным для задания ф-ии, т.к. к нему приложены методы мат.анализа, позволяющие полностью исследовать ф-ию.

Свойства ф-ий: (убывающие и возрастающие-строго монотонные)

1.Монотонность. Пусть у=f(x) определена на множетсве Д и пусть множество Д₁-подмножество множества Д (Д₁ Д)

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)<f(x₂), то у=f(x) наз строго возрастающей на множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)<=f(x₂), то у=f(x) наз возрастающей на множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)>f(x₂), то у=f(x) наз строго убывающей множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)>=f(x₂), то у=f(x) наз убывающей множестве Д₁

Интервалы, на которых ф-ия монотона наз интервалами монотонности.