Вопрос№3 Числовая прямая

Числовой осью или действительной осью называется прямая линия, для точек которой следующим образом установлено взаимно однозначное соответствие с числами.

Число 0 сопоставлено фиксированной точке О.

Число 1 сопоставлено фиксированной точке М, расположенной правее от точки О.

Положительному числу а сопоставлена т.А справа от т.О так, что длина отрезка ОА измеренная единицей ОМ=числу А.

Отрицательному числу –b, где в-положительное число, сопоставлена т.В симметричная относительно т.О точке сопоставленной числу b.

Число а сопоставленное т.А числовой оси называется координатой т.А на числовой оси А(а)

Рассмотрим некоторое подмножество множества R.

О:Интервалом на числовой оси назовем множество таких действительных чисел х, для которых

О:Полуинтервалом называется множество таких действительных чисел х, для которых выполняется

О:Промежутком на числовой оси называется множество таких действительных чисел, для которых

Модуль действительного числа:

Свойства модуля:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

О: е(эпсилон) окрестности называется множество таких R чисел, которых удовлетворяют условию:

Вопрос№4 Определение числовой последовательности

О:Числовой последовательностью назовем функцию натурального аргумента x_n=f(n), где n-натуральное число.

Числовая последовательность обычно обозначается {x_n}, n N

x₁-1ый член последовательности x_n-n-ый член последовательности (общий член)

Примеры: арифметическая и геометрическая последовательности

Последовательность будем считать заданной, если изсвестно правило вычисления любого числа последовательности. Этим правилом может служить формула общего члена x_n=f(n)

Введем арифметические действия над последовательностью. Пусть даны 2ве послед {x_n} и {y_n}

1)Произведением x_n на число m назовем последовательность {mx₁, mx₂, mx₃… mx_n}

2) Суммой/разностью 2ух данных послед {x₁+-y₁, x₂+-y₂, … x_n+-y_n}

3)Произведение 2ух данных послед {x₁y₁, x₂y₂, … x_ny_n}

4)Частным 2ух данных послед {x₁\y₁, x₂\y₂, … x_n\y_n} y_n=(no)0

О: Последовательность {x_n} называется ограниченной если сещуствует такое положительное число с, такое что

О: Монотонные последовательности

1)Последоват {x_n} строго возрастающая если для всех n вып x_n<x_n+1

2)Последоват {x_n} возрастающая если для всех n вып x_n<=x_n+1

3)Последоват {x_n} строго убывающая если для всех n вып x_n>x_n+1

4)Последоват {x_n} убывающая если для всех n вып x_n>=x_n+1

Воспро№5 Определение предела чп

О: Число А наз пределом последовательности {x_n} при n N, если для любого положительного числа е(эпсилон) найдется такое натуральное число N=n(e) такое, что при всех n больше этого n(e) выполняется неравенство |x_n-A|<e

В этом случае говорят последовательность стремится к А/сходится к А/имеет предел равный А. Это означает, что для любого e>0 найдется такой номер n(e) такой, что все члены последовательности с номерами большими чем n(e) попадает в е-окрестности точки А.

О: Последовательность, имеющая конечный предел наз сходящейся.

О: Последовательность, не имующая конечного предела наз расходящейся.

З: ББ последовательность имеет бесконечный предел

З: если последоват БМ, то она является сходящейся и меет своим пределом 0

Теорема1: Всякая сходящаяся послед ограничена

Док-во: Если {x_n}-сход., то {x_n}-ограничена (верно только это утв.)

З: Ограниченная послед может и не быть сход. Н:

Теорема2:Сход послед имеет только один предел

Док-во: Будем доказывать теорему от противного. Предположим {x_n} имеет 2 разных предела

Эти неравенства означают, что элемент x_n находится одновременно в окрестности чисел А и В. А они по нашему предположению не пересекаются (А=(no)В), т.е. получим противоречие, т.е. наше предположение неверно.

Теорема Веерштраса: Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится

Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом .Докажем, что она сходится. Для этого согласно теореме Веерштрасса достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная.

1)Докажем возрастание: для этого будем использовать формулу Бинома-Ньютона:

2)Докажем, что {x_n}-ограниченная. Для этого заметим, что каждое выражение в скобках для x_n, т.е. выражение вида , потому если в выражении x_n каждую скобку заменить на 1, то полчим, что

Используя известную формулу

Получим:

Следовательно, по теореме Веерштрасса эта последовательность имеет предел, т.е. существует

Следствие: если последовательность монотонна, но не ограничена, то она ББ, т.е. расходится. Таким образом, любая монотонная последовательность имеет предел. Этот предел конечен. Если послед ограниченная, то она имеет предел, обозначаемый буквой е.