Вопрос№35 Применение дифференциала для приближенных вычислений

Как уже известно приращение дифференцируемой ф-ии можно записать в виде:

Так как первое слагаемое явл главной частью этого приращения, то отбрасывая БМ часть более высокого порядка чем получаем приближенное равенство

Подставим:

Вопрос№36 Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-ого порядка: Производная ф-ии y=f(x) сама является некоторой ф-ией аргумента х. Следоват, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о сущ-ии и нахождении производной.

Назовем

Производная от произведения некоторой ф-ии наз производной 2ого порядка или 2ой производной это ф-ии

Производная 3ого порядка – это производная от производной 2ого порядка

Производная n-ого порядка – это производная от производной n-1-ого порядка

Дифференциал высших порядков:

Пусть в свою очередь, дифференцируема в некоторой т.х. Тогда дифференциал 2ого порядка получаем как дифференциал от дифференциала 1ого порядка:

Ф-ла для дифференциала 2ого порядка имеет вид:

Вопрос№37Теорема Ферма

Пусть ф-ия y=f(x) определена на (а;b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в т.х₀ сущ-ет производная, то она=0.

Док-во: Пусть для определенности ф-ии y=f(x) в т.х₀ имеет наибольшее значение

Возможны 2 случая

Так как ф-ия y=f(x) по условию дифференцируема в т.х₀ , то она непрерывна в этой точке х₀, а значит

Замечание: Теорема неверна, если y=f(x) рассматривается на промежутке от [a;b]

Вопрос№38 Теорема Ролля

Пусть на отрезке от [a;b] определена ф-ия y=f(x) причем выполняются след условия:

1.Непрерывна на отрезке [a;b]

2.Дифференцируема на интервале (а;b)

3.f(a)=f(b)

Док-во: Т.к. ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Веерштрасса она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m.

Возможны 2 случая:

Вопрос№39 Теорема Лагранжа

Пусть на отрезке [a;b] определена ф-ия y=f(x) пичем выполняются след условия:

1.Непрерывна на отрезке [a;b]

2.Дифференцируема на интервале (а;b)

Док-во: рассмотрим на отрезке [a;b] вспомним

Для этой ф-ии выполняются все условия Теоремы Ролля, убедимся в этом.

Замечание: Т. Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим равенство

Следовательно, геометрический смысл теоремы таков, на графике ф-ии y=f(x) найдется точка с координатами (с;f(c)), к которой касательная к графику ф-ии параллельна секущей АВ.

Вопрос№40 Правило Лопиталя

Следующаяя теорема устанавливает правила для расскрытия неопределенности вида при вычислении предел.

Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности т.х₀ за исклбчением быть может самой т.х_0. Известно также, что предел

Тогда,

Док-во: Предположим, что f(x) и g(x) непрерывна в т.х₀. Применим к ф-иям f(x) и g(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x]

Перейдем к пределу в этом равенстве при , читывая, что

Замечание: данная теорема верна в том случае, когда , а также неопределенность вида