Вопрос 18. Механика абсолютно твердого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Момент инерции.

Движение абсолютно твердого тела можно представить как результат двух одновременных движений: мгновенно поступательного вместе с произвольно выбранной точкой, называемой полюсом, и мгновенно вращательного вокруг этого полюса.

В этом случае движение центра масс твердого тела описывается теоремой о движении центра масс: , где Ф – это равнодействующая внешних сил.

А вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр масс, определяется теоремой об изменении момента импульса системы: .

Рассмотрим один важнейший из практики частный случай: вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси в пространстве.

Пусть имеется абсолютно твердое тело с системой действующих на это тело, известных сил. Под действием этих сил тело вращается вокруг неподвижной оси Z, проходящей через центр масс этого тела C. Разобьем тело на большое, но конечное число частиц, которые будем принимать за материальные точки, выделим частицу m_i, находящуюся на расстоянии r_i от точки С. Пусть в момент времени t частица имеет линейную скорость v_i.

Момент импульса i-той частицы относительно оси вращения Z: , но . Откуда . Заменим формулу момента инерции относительно оси вращения: , и получим окончательную формулу момента импульса: , где момент инерции играет роль массы

Так как мы разбивали тело на множество материальных точек, просуммируем последнее выражение: и получим .

Проекция момента импульса твердого тела на ось Z равна произведению момента инерции твердого тела на проекцию угловой скорости на ось Z.

Воспользуемся теоремой момента импульса: и получим: , преобразуем: .

Получили связь между моментом внешних сил и угловым ускорением. Это позволяет по известной системе действующих на твердое тело сил и по известному распределению масс в твердом теле определить угловое ускорение вращательного движения относительно неподвижной оси в пространстве. Зная угловое ускорение, можно определить угловую скорость и угловое перемещение вокруг неподвижной оси. По своему содержанию полученное выражение имеет смысл основного уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Вопрос 19. Теорема Штейнера. Вычисление моментов инерции. Примеры.

Моментов инерции однородное тело может иметь множество, т.к. оно может иметь множество осей. Для облегчения вычисления моментов инерции одного и того же тела относительно некоторых осей служит теорема Штейнера. Зная момент инерции тела, относительно какой-либо оси, проходящей через центр масс тела, можно, пользуясь т. Штейнера, вычислить момент инерции этого тела относительно любой другой оси, параллельной первой.

Теорема: момент инерции твердого тела относительно любой оси будет равен сумме момента инерции его относительной оси, параллельно заданной, но проходящей через центр масс, плюс произведение массы этого тела на квадрат расстояния между двумя осями

Пример: пусть имеем однородный тонкий стержень длиной l, момент инерции этого стержня равен . Требуется определить момент инерции стержня относительно оси OZ’, параллельной CZ.

Вычисление моментов инерции:

Момент инерции тела характеризует инертность твердого тела по отношению к вращательному движению этого тела вокруг оси. Его определяют следующим образом: твердое тело разбивают на конечное число элементарных масс, рассчитывают моменты инерции каждой элементарной массы, а затем суммируют, если система имеет дискретное строение, и интегрируют, если система представляет собой сплошное твердое тело.

• Момент инерции тонкого прямого однородного стержня вокруг оси или относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец:

• Момент инерции тонкого однородного кольца относительно оси, проходящей через его середину и перпендикулярной к его плоскости:

• Момент инерции однородного шара:

• Момент инерции однородного тонкого диска:

Вопросы 20-21. Колебания. Типы колебаний. Гармонические колебания

Колебательное движение это изменение состояния, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Например, маятник часов. Периодом колебаний называется время, в течение которого совершается одно полное колебание. Типы колебаний: свободные, вынужденные, затухающие, незатухающие

Свободными колебаниями называются колебания, которые возникают в системе, неподверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия (пружинный маятник). При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы, стремящиеся возвратить систему в положение равновесия.

Если система консервативна, то при колебаниях не происходит рассеивания энергии, такие колебания называются незатухающими. Они представляют идеализированный случай колебаний. Реальные свободные колебания – затухающие.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых координата изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний: , где А – это амплитуда (максимальное отклонение тела от положения равновесия), w- циклическая частота (показывает число полных колебаний, которые совершаются за 2П единиц времени: w=2П/T), ф0- начальная фаза колебаний. Аргумент, стоящий под знаком синуса или косинуса, называется фазой колебаний.

Основные характеристики колебательного процесса: амплитуда, период, частота, циклическая частота.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

- уравнение гарм. Колебаний

. Причиной возврата в начальное положение является возвращающая сила, по 2 закону Ньютона, максимальная сила равна при условии, что синус равен 1.

Т.к. Fy – это функция от t, ф m и w – константы, то Fy=k*x, где k=mw² – формула для силы упругости.

. Т.к. и ,

; , а

Итак, - диф. Уравнение 2ого порядка. Решением этого уравнения будет выражение .