Вопрос 10 Волновая функция. Операторы физических величин. Уравнение Шредингера.

Волновая функция свободной частицы.

В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, свя­занной с частицей. Математическое выражение, описывающее распростра­нение какой-либо волны в пространстве, носит название волновой функ­ции. Таким образом, для описания движения частиц нужно уметь нахо­дить их волновые функции в различных физических условиях.

Из уравнений Максвелла при некоторых добавочных предположениях можно получить для напряженностей электрического и магнит­ного полей (в пустоте) волновые уравнения

где с – скорость света.

Решением этих уравнений является, в частности, плоская моно­хроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Ох, в которой векторы напряженностей и перпендикулярны друг другу и направлению распространения. Зависимости и от коор­динаты х и времени t (волновые функции) определяются выражениями

где Т – период колебаний, а λ – длина волны.

Так как выражения (2.3) и (2.4) имеют одинаковую структуру, то нам достаточно будет рассмотреть лишь одно из них, например, выражение (2.3). Учитывая, что период связи с частотой ν соот­ношением и что, согласно формулам и , перепишем выражение (2.3) в виде

где для краткости обозначено .

Естественно считать, что свободной частице, которая движется равномерно и прямолинейно и имеет при этом постоянные импульс Р и энергию Е, соответствует также плоская монохроматическая вол­на. Волновую функцию Ψ, описывающую такую волны, мы запишем в несколько более общем, по сравнению с выражением (2.5) для плос­кой световой волны, комплексном виде

Здесь P – импульс частицы, направленный не по оси Оx, а в произ­вольном направлении, r₀ – расстояние поверхности равной фазы от начала координат (поверхность равной фазы - плоскость, перпендику­лярная направлению распространения волны, а, следовательно, и им­пульса), a – амплитуда волны.

.

Подставив это в выражение (2.6), получим волновую функцию свободной частицы в виде

Плотность вероятности.

Вероятность встретить частицу в некоторой малой области пространства пропорциональна не только квадрату амплитуды волновой функции, но и величине объема dV этой области, т.е.

.

С другой стороны, квадрат амплитуды волновой функции (2.7) можно найти, умножив комплексно сопряженную функцию Ψ* на Ψ

Таким образом,

и, следовательно, квадрат модуля волновой функции

представляет собой плотность вероятности найти частицу в данной точке пространства, т.е. вероятность, отнесенную к единице объема. Этот смысл выражение (2.9) сохраняет и в том случае, когда частица не является свободной, и ее волновая функция уже не определя­ется формулой (2.7).

Квадрат амплитуды волновой функции (2.7) для свободной час­тицы – постоянная величина (не зависит от координат частицы). Это значит, что плотность вероятности найти частицу во всех точках пространства одна и та же. С одной стороны, это можно объяснить тем, что плоская монохроматическая волна заполняет все пространство не имея ни начала, ни конца. С другой стороны, плоская монохроматичес­кая волна имеет вполне определенные длину волны λ и направление распространения. Следовательно, величина импульса и его направление также строго определены (известны все три проекции импульса). Если же какая-либо из проекций импульса, на­пример р_х известна точно, то неопределенность Δр_х = 0. Но в этом случае, согласно соотношению неопределенностей ( ) долж­на быть бесконечно большой неопределенность Δх соответствующей координаты, т.е. частица с одинаковой вероятностью может казаться в любой точке пространства.

Операторы.

Нам нужно получить дифференциальное уравнение для волновой функции. Поэтому посмотрим, что получается при дифферен­цировании волновой функции (2.7) по времени и координатам. Продифференцируем сначала выражение (2.7) во времени:

Умножив обе части этого равенства на iћ, получим

Математический символ, указывающий, какие действия (операции) нужно совершить над стоящей справа от него функцией, называется оператором. В данном случае оператором является постоянный множи­тель iћ и знак производной по времени , т.е. символ . Этот оператор действует на функцию . В результате действия оператора получается та же функция, умноженная на величину энергии E.

Бели в результате действия оператора на функцию получается та же функция, умноженная на постоянный коэффициент, имеющий смысл не­которой физической величины, то

1. оператору приписывается название этой физической величины; обычно он обозначается той же буквой, что и эта физическая величина, с ломаной линией ("крышечкой") наверху;

2. функция называется собственной функцией этого оператору;

3. коэффициент, на который умножается функция, называется собственным значением оператора.

Таким образом, символ

является оператором полной энергии частицы, волновая функция сво­бодной частицы (2.7) - собственной функцией оператора полной энергии, а величина энергии E - собственным значением этого опе­ратора.

Так как в результате дифференцирования волновой функции (2.7) по координатам и умножения полученных выражений на – iћ получается

то символы

называются операторами проекций импульса.

Функция (2.7) является одновременно собственной функцией операторов всех проекций импульса, в величины проекций – собственными значениями этих операторов.

За оператор координаты принимают саму координату, т.е. . Действие оператора координаты на функцию сво­дится к умножению этой функции на координату.

В частности, квадрат оператора проекции импульса на ось Оx действует на функцию Ψ следующим образом:

Действие квадратов других проекций импульса аналогично. Следовательно,

В квантовой механике при помощи сложения и умножения из опера­торов составляют новые операторы, которые носят название физических величин, по аналогии с которыми они составлены. Например, частица массы m с импульсом p имеет скорость . Так как квад­рат импульса частицы , то кинетическая энергия этой частицы

Если в этом выражении квадраты проекций импульса, заменить соответствующими операторами (2.14), то получится оператор кинети­ческой энергии

Здесь – дифференциальный оператор, который в математике носит название оператора Лапласа.

При двукратном дифференцировании волновой функции свободной частицы (2.7) по какой-либо координате функция умножается на и на квадрат соответствующей проекции импульса. Поэтому, действуя оператором на волновую функцию (2.7), найдем

т.е. в этом случае получается та же функция, умноженная на величину кинетической энергии.

Уравнение Шредингера.

Чтобы иметь представление о свойствах дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять волновая функция частицы, рассмотрим волновое уравнение (2.1) для напряжен­ности электрического поля. Продифференцировав (2.5) дважды по x и по t, найдем

Подставив эти выражения для производных в уравнение (2.1) и сократив на общие множители, получим после извлечения квадратного корня из обеих частей равенства

т.е. подстановка волновой функции в волновое уравнение в случае плоской монохроматической электромагнитной (световой) волны приводит к соотношению между энергией и импульсом для светового кванта.

Будем считать, что в случае свободной частицы, волновая функ­ция которой (2.7) также соответствует плоской монохроматической волне, волновое уравнение должно удовлетворять этому же условию, т.е. после подстановки в него волновой функции должно получиться соотношение между энергией и импульсом частицы. Свободная частица имеет только кинетическую энергию. Поэтому ее полная энергия связана с импульсом p, согласно формуле (2.15), соотношением

Дифференцирование волновой функции мы можем заменить действием на нее операторов. В частности, мы нашли, что волновая функция свобод­ ной частицы (2.7) умножается в результате действия на нее опера­тора полной энергии (2.11) на величину E энергии частицы, а в результате действия оператора кинетической энергии (2.16) на ве­личину . Поэтому, если мы напишем уравнение для волновой функции частицы (2.7) в виде

то после действия операторов получится

и после сокращения на Ψ будет выполнено соотношение (2.18).

Если в уравнение (2.19) подставить выражения для операторов, мы придем к дифференциальному уравнению для волновой функции свобод­ной частицы, удовлетворяющему сформулированному выше условию:

Само по себе это уравнение не дает ничего нового, так как его ре­шением являются волновые функции вида (2.7) для свободной час­тицы, которые были использованы для составления уравнения. Кроме того, практически всегда приходится иметь дело не со свободными частицами, а с частицами, взаимодействующими друг с другом или подвергающимися воздействию какого-либо поля. Таким образом, урав­нение (2.20) следует видоизменить, чтобы в нем учитывались воздей­ствия, которым подвергается частица.

Полная энергия частицы, подвергающейся какому-либо воздействию, складывается из кинетической энергии T и потенциальной энергии U. Поэтому можно предположить, что уравнение (2.19) в случае частицы, подвергающейся воздействию, должно быть заменено уравнением

где – оператор потенциальной энергии. Примем в качестве гипо­тезы, что оператор потенциальной энергии совпадает с самой потенциальной энергией U.

Тогда, заменив в уравнении (2.21) операторы их выражениями, нридем к уравнению

Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики. Поскольку мы пришли к этому уравнению после целого ряда предположений (комплексная вол­новая функция, соответствие между операторами и физическими вели­чинами, вид оператора потенциальной энергии), то следствия, выте­кающие из этого уравнения, должны быть проверены на опыте. Как уже говорилось выше, эти следствия очень хорошо подтверждаются опытны­ми фактами. Следует только отметить, что уравнение (2.22) верно лишь при описании движения частиц, скорость которых значительно меньше скорости света, так как соотношение (2.15) между кинетичес­кой энергией и импульсом справедливо лишь при этом условии. В ре­лятивистском же случае для описания волновых свойств частицы сле­дует пользоваться другими уравнениями (Дирака, Клейна-Гордона).

Уравнение Шредингера в стационарном случае. Вообще говоря, потенциальная энергия U зависит от координат частицы и времени и времени t. Если же U от времени не зависит (стационарное движение) и, следовательно, полная энергия E также не меняется с течением времени, то волновую функцию можно представить в виде двух сомножителей:

Первый сомножитель зависит только от времени, а второй - толь­ко от координат. Подставив волновую функцию (2.23) в уравнение (2.22), получим, учитывая, что в левой части уравнения нужно диф­ференцировать только первый множитель, а в правой - только второй:

Сократив на , найдем уравнение для функции (так называемое стационарное уравнение Шредингера)

Здесь E – величина полной энергии – постоянное число.

Плотность вероятности в стационарном случае равна квадрату модуля функции , так как

Таким образом, чтобы найти плотность вероятности в стационар­ном случае, нужно решить уравнение (2.24) при заданной зависимос­ти потенциальной энергии частицы от ее координат. Всякое дифферен­циальное уравнение имеет единственное решение лишь при определен­ных условиях, накладываемых на функцию. Эти условия обычно опреде­ляются физическим смыслом функции и ее значениями на границах области. Естественно считать, что плотность вероятности есть непре­рывная функция координат, везде конечная и однозначная. Очевидно, эти же условия должны выполняться и для функции . Кроме того, чтобы можно было пользоваться уравнением, в которое входят вторые производные функции по координатам, необходимо, чтобы эти вторые производные существовали, а для этого нужно, что­бы первые производные были также непрерывными и конечными.

Разделим возможные случаи движения на два вида:

1. Потенциальная энергия такова, что при заданной полной энергии частица находится в ограниченной области пространства. Тогда вероятность того, что частица находится внутри этой области, представляет собой вероятность достоверного события. Принято считать, что вероятность достоверного события равна единице. Разобьем эту область на элементарные объемы dV. Вероятность найти частицу в каждом таком объеме, согласно формулам (2.8) и (2.25), . Вероятность же W того, что частица находится внутри области в любом из этих объемов, равна сумме вероятностей dW (согласно формуле о сложении вероятностей). В данном слу­чае суммирование сводится к интегрированию по объему V всей области и, следовательно,

Это условие называется условием нормировки, а функции, удовлет­воряющие ему - нормированными функциями. Если функция Ψ не нор­мирована, то ее можно нормировать, умножив на постоянный множитель. Область, в которой находится частицн, может занимать и все простран­ство. Однако при этом нужно потребовать, чтобы функция Ψ убывала с расстоянием r от начала координат быстрτе чем 1/r, иначе интеграл (2.26) обращается в бесконечность.

2. Частица может уйти в бесконечность, как, например, в случае свободного движения, когда решением уравнения (2.22) является плос­кая волна (или сумма плоских волн), и плотность вероятности не уменьшается с увеличением расстояния от начала координат. В таких случаях условие нормировки оказывается более сложным. Им, однако, практически пользуются редко, так как в большинстве случаев доста­точно знать отношение плотностей вероятности в различных областях пространства.