Атом зоммерфельда

Теория Бора верно отражала основные черты спектрального поведения атома водорода, однако, не могла объяснить, например, тонкую структуру спектральных линий или их расщепление при помещении атома во внешнее поле. Следующий шаг в развитии теории атома был сделан Арнольдом Зоммерфельдом, который предположил, что электрон в атоме водорода может двигаться не только по круговым, но и по эллиптическим орбитам, для которых также должно выполняться условие квантования момента импульса, аналогичное соотношению (6). При этом условии оказалось, что разрешенными траекториями электронов являются эллипсы с большими и малыми полуосями, равными соответственно:

и (10)

Здесь n = 1,2,3...– главное квантовое число, l = 1,2,З...n – орбитальное квантовое число. Энергии различных состояний определяются только величиной большой полуоси эллипса, или главным квантовым числом:

, (11)

что в конечном итоге совпадает с (8). С другой стороны, квантованные значения момента импульса определяются возможными значениями квантового числа l:

(12)

В развитие идей Бора Зоммерфельд распространил квантование на ориентации орбит электронов в атоме. Согласно идее "про­странственного квантования", возможны лишь такие ориентации плоскости орбиты, при которых проекция момента импульса электрона на некоторое выделенное направление z принимает значения, кратные , т.е. , где m – так называемое магнитное квантовое

число, которое, может принимать значения, равные m = 0,1, 2,… l.

Таким образом, состояние атома можно охарактеризовать тремя квантовыми числами n, l, m, которые определяют возможные траектории электрона и соответствующие физические величины Ε_n, N, N_z.

Рассмотрим несколько первых возможных состояний атома водорода (по Зоммерфельду) (рис. 3).

a). , ,

б). , ,

,

в). , ,

,

Р и с. 3

При n = 1, l = 1 и m = 0, 1 возможна только одна круговая орбита радиусом r₁ с моментом импульса N = и тремя ее ориентациями N_z = = 0,  , которым соответствует одна и та же энергия Е_1. (рис.3, а). На энергетической диаграмме (рис. 4) это состояние с n = 1 и l = 1 изображено чертой, разделенной на три отрезка (трехкратное вырождение по квантовому числу m).

Р и с. 4

При п = 2 орбитальное число l может принимать значения 1 и 2, что дает две возможные орбиты – эллипс и окружность (рис.3, б,в). Энергия этих двух состояний, изображенная на энергетической диаграмме двумя чертами, одинакова и равна E₂ (двукратное вырождение по квантовому числу l).

Кроме того, при том же значении E₂ для состояния с l = 1 возможны три ориентации момента импульса со значениями m = 0, 1, т.е. состояние с l = 1 трехкратно вырожде­но по m. Аналогично, состояние с l = 2 пятикратно вырождено по m, т.к. при m = 0, 1, 2 возможны пять ориентаций момента импульса и для всех этих состояний энергия по-прежнему равна E₂ (рис. 4).

При n = 3 орбитальное число l = 1,2,3, что дает три возможных орбиты с тремя, пятью и семью ориентациями соответственно. Энергия всех этих состояний равна E₃.

В общем случае состояние с данным значением n и энергией E_n n – кратно вырождено по l, а состояние с данным l   (2l+1) – кратно вырождено по m .

Спектр атома водорода, обусловленный переходами между соответcтвующими энергетическими уровнями, будет в данном случае таким же, как и в случае боровской модели, поскольку выражения для энергия (11) и (8) полностью совпадают.

Если атомы поместить в электрическое поле, то оно будет де­формировать эллиптические орбиты и в энергетическом отношении состояния с данным n и paзличными l, окажутся неодинаковыми (вырождение по l снимается). Например, при n = 2 два уровня с l = 1 и l = 2 несколько сместятся друг относительно друга (рис. 5, б), что приведет к расщеплению соответствующей линии в спектре (эффект Штарка).

При помещении атомов в магнитное поле энергетически неэкви­валентными оказываются состояния с различными ориентациями момента импульса. В этом случае снимается вырождение по m, соответствующие уровни расщепятся (рис. 5, в), что также приведет к расщеплению спектральных линий (эффект Зеемана).

Кроме того, если учесть, что скорость электрона при движении по эллиптической орбите не остается постоянной и ввести релятивистскую зависимость массы от скорости, то эллиптические орбиты с одинаковыми n но разными l окажутся, даже в отсутствии внешних полей, энергетически не совсем эквивалентными. Этот релятивистский эффект приводит к снятию вырождения по l, и как следствие, к так называемому тонкому расщеплению энер­гетических уровней и соответствующих спектральных линий.

Следует, однако, отметить, что теория Зоммерфельда позволяет лишь качественно объяснить поведение атомов во внешних полях, количественного же соответствия с экспериментом не наблюдается. Но самым существенным недостатком теории Бора-Зоммерфельда явля­ется ее внутренняя противоречивость: она была ни последователь­но классической, ни последовательно квантовой теорией. По выра­жение У. Брэгга, в этой теории мы как бы должны по понедельни­кам, средам и пятницам пользоваться классическими законами, а по вторникам, четвергам и субботам – квантовыми.

а) б) в)

Р и с. 5