На предприятии изготавливается в инструментальных цехах (ИЦ) и в ЦОП. В некоторых случаях ТО может заказываться в сторонних предприятиях, поэтому будем различать ТО по месту изготовления:

• централизованная ТО. Она изготавливается и восстанавливается в инструментальных цехах;

• частная ТО. Она изготавливается или восстанавливается на ИУ ЦОП;

• внешняя ТО. Она изготавливается или восстанавливается в сторонних организациях. К этому классу относится и нормализованная ТО, которая закупается.

Следовательно, в ИЦ и ИУ изготавливается

• новая заводская, цеховая и коммерческая ТО;

• проводится капитальный ремонт заводской и коммерческой ТО;

• выполняется модернизация заводской и коммерческой ТО;

• оказываются услуги основным цехам в части инструментальной подготовки производства, то есть в изготовлении и восстановлении частной ТО.

• В ЦОП изготавливается цеховая ТО, которая используется только в этом цехе.

6.3. Потоки в инструментальном производстве

В инструментальной производстве будем различать два потока: материальный и документов.

Материальный поток образуют объекты ТО при их перемещении, например, со склада на рабочие места, на склад из цеха, из цеха в цех и т.д.

Поток документов образуют документы, связанные с проектированием, изготовлением, покупкой, ремонтом, модернизацией, контролем, передачей и списанием ТО.

6.4. Схемы производственных процессов инструментальной подготовки производства

В инструментальной подготовке производства ОАО «Техприбор» можно выделить следующие схемы производственных процессов:

1. создание ТО. В процессе подготовки производства различают две очереди изготовления ТО: нулевую и первую. ТО нулевой очереди – это ТО, без которой производство нового изделия практически невозможно. ТО первой очереди – это ТО, без которой возможно производство нового изделия. Таким образом, первая очередь следует за нулевой очередью изготовления ТО. Но это правило не строгое, так как в конце нулевой очереди может проектироваться и изготавливаться ТО первой очереди,

2. модернизация ТО,

3. изготовление дублеров ТО,

4. покупка ТО. Покупку нормализованной ТО необходимо выполнить по этапам и, по возможности, в последнюю очередь. Количество покупаемой нормализованной ТО должно быть таковым, чтобы ее хватило до получения ТО по следующему заказу, плюс необходимое страховочное количество,

5. ремонт ТО,

6. контроль ТО,

7. списание ТО,

8. подготовки финансового отчета по инструментальному производству,

9. заказ ТО в сторонних предприятиях.

При реализации описанных схем используются следующие правила их выполнения.

1. Проектирование конструкции ТО выполняется в отделе главного технолога (СГТ), в технологических бюро цеха или сторонними предприятиями:

• заводская и сложная цеховая ТО проектируется в СГТ;

• коммерческая ТО может проектироваться в СГТ или сторонними предприятиями;

• несложная цеховая ТО может проектироваться технологическим бюро цеха. В это случаи выполняется эскизное проектирование ТО.

2. Технологическая подготовка производства ТО осуществляется ТБ ИЦ и ИУ.

3. Изготовление ТО:

• централизованная ТО изготавливается в ИЦ по чертежам на ТО, поступающим из СГТ или сторонних предприятий, техническим требованиям на стандартные детали ТО, отраслевым стандартам по передовым технологическим процессам (ТП) в ИП;

• частная ТО изготавливается по конструкторской документации СГТ или по эскизам, которые составлены ТБ цеха и подписаны заместителем начальника цеха. Ответственным за хранение конструкторской документации и эскизов на частную ТО является начальник ТБ цеха.

4. Контроль и испытание то

• контроль централизованной ТО проводится службами ИЦ. Испытание централизованной ТО выполняется представителем цеха-заказчика или сторонней организации на соответствующем оборудовании в присутствии представителей ИЦ;

• испытание частной ТО проводят представители этого цеха;

• внешняя ТО (изготовленная на сторонних предприятиях) контролируется и испытывается представителями ОАО «Техприбор».

6.5. Режимы работы инструментального производства

Инструментальное производство, в общем случае, может работать в трех режимах:

• подготовки производства нового изделия. В этом случае нет жестких временных ограничений на проектирование, изготовление и покупку ТО;

• оперативного управления производством изделия. В этом случае существуют жесткие временные ограничения на изготовление дублеров, ремонт и покупку ТО. Покупка нормализованной ТО должна выполняться по этапам в количестве, необходимом для получения нормализованной ТО по новому заказу, при сохранении страховочного количества;

• смешанного управления. В этом случае параллельно выполняются работы по управлению производством изделия и подготовке производства нового изделия.

Выводы

На основании вышеизложенного материала можно сделать следующие выводы.

1. Первичная очередь изготовления ТО следует за нулевой очередью изготовления ТО, но эти процессы в реальном времени могут совмещаться.

2. Покупка нормализованной ТО должна выполняться по этапам. Длительность этапа определяется временным отрезком, за который гарантированно выполняется заказа на покупку и доставку нормализованной ТО. На каждом этапе закупается такое количество нормализованной ТО, которое необходимо для нормальной работы основного и инструментального производств, плюс ее страховочное количество.

6.4. Концептуальная модель инструментального производства

Цель – разработка моделей решения задач управления жизненным циклом технологической оснастки. На основе построенных моделей в дальнейшем будет проводиться моделирование производственных процессов инструментальной подготовки производства.

Следует провести анализ задач, материальных и информационных потоков в производственных службах предприятия, связанных с проектированием конструкций и технологических процессов изготовления, складированием, учетом, использованием, ремонтом, модернизацией, списанием и утилизацией технологической оснастки.

Построенные модели могут использоваться:

• во-первых, для моделирования инструментальной подготовки производства (ИПП) и выявления «узких» мест по времени производственных процессов обеспечения технологической оснасткой основного производства;

• во-вторых, как справочный материал для работников предприятия;

• в-третьих, для построения автоматизированной системы анализа инструментального производства (ИП), с помощью которой можно было бы планировать работы по производству технологического оснащения и формировать перспективы развития ИП;

• в-четвертых, для обоснования потребности и технико-экономической целесообразности создания автоматизированной системы управления ИП;

• в-пятых, для построения электронного варианта стандарта предприятия;

• в-шестых, для формирования портфеля заказов.

Каждое подразделение, входящее в состав ИП, выполняет конкретные задачи ИПП, и каждое подразделение имеет свою состав и структуру. Синхронизация работ ИПП. по обеспечению ТО заказчиков является нетривиальной процедурой и требует специальных затрат. Поэтому в ИП введена специальная служба - инструментальный отдел (ИНО).

Целью функционирования ИНО является осуществление бесперебойного и комплексного обеспечения производства изделий ТО при наименьших затратах на её их изготовление, эксплуатацию, ремонт и хранение. Указанная цель достигается управлением информационными и материальными потоками между заказчиками и изготовителями ТО, а также организацией взаимодействия ИЦ и ЦИС, ЦИС и ЦОП, ИП с производственно-диспетчерским отделом (ПДО), планово‑экономическим отделом (ПЭО), отделом материально-технического снабжения (ОМТС) и бухгалтерией (рис. 6.3). На рис. 6.4 показана схема решения задач при изготовлении новой ТО, модернизации старой ТО, сопровождении, ремонте и заказе дублеров ТО, списании ТО.

Как мы видим, ИНО непосредственно контактирует с основным производством, получая заказы на изготовление требуемой продукции, распределяет их по цехам в зависимости от специфики изделия и осуществляет контроль над деятельностью ИЦ.

ИНО в своей деятельности руководствуется приказами, распоряжениями и указаниями руководства ОАО «Техприбор», производственным планом, заданиями ПЭО и ПДО. Административная подчиненность служб ИП показана на рис. 6.5. ИП непосредственно подчинено заместителю главного инженера по подготовке производства. Между ИНО и ИЦ и ИУ существует связь по приказу вышестоящего руководителя. Между ИНО и другими подразделениями (ЦОП, бухгалтерия и др.) связь информационная, которая определяется логикой решения задач ИП.

Рассмотренная модель ИП - это модель виртуального предприятия, в котором

• заказчик – это СГТ и ЦОП. СГТ, на основании ТП изготовления изделий основного производства, определяет перечень необходимой нормализованной, унифицированной и специализированной ТО. В СГТ формируются графики оснащения производства, извещения, заявки, чертежи ТО. В ЦОП формируются заявки на дублирование и ремонт ТО;

• управляющая структура – это ИНО, в котором открываются заказы на изготовление, модернизацию, ремонт, покупку нормализованной ТО.

Рис. 6.3. Информационные связи инструментального отдела

Рис. 6.4. Схема изготовления, ремонта, покупки и списания технологической оснастки

Заместитель главного инженера по подготовке производства

Начальники инструментальных цехов

Добавление в модель элементов, важные с точки зрения физических процессов в устройствах

Главный бухгалтер

Начальник метрологического отдела

Начальник утильбазы

Главный технолог

Рис. 6.5. Схема административного подчинения в инструментальном производстве

- связь подчинения;

- связь подчинения по приказу

- информационная связь

Кроме этого разрабатываются графики изготовления ТО;

• исполнители – ИЦ, ИУ и метрологическая служба, которые изготавливают, ремонтируют и контролируют ТО;

• хранители – это ЦИС и склады цехов;

• основа для взаимодействия – приказ заместителя главного инженера по подготовке производства.

Материальные и информационные потоки будут рассматриваться в главе 4 и 5 соответственно.

Глава 10. Моделирование механообрабатывающей технологической системы

.

10.1. Необходимость моделирования технологической подготовки

производства

.

10.3. Концептуальная модель технологической системы

На рис. 3.4 представлена в общем виде структура технологической системы, предназначенной для выпуска продукции, в виде иерархии управляемых контуров (см. утверждение 1.4). Уровень 1-й включает линии и участки; 2-й – зоны; 3-й – станции или рабочие места, 4-й – исполнительные механизмы.

10.4. Механическая интерпретация понятий линейных графов

Для перевода на язык механики необходимо произвести следующие замены переменных:

1. Усилие е интерпретируется как сила

2. Поток f интерпретируется как скорость

3. Момент р интерпретируется как количество движения

4. Перемещение q интерпретируется как механический сдвиг

Тогда основные элементы линейных графов получают следующую интерпретацию:

5. Источник усилия SE – источник силы

6. Источник потока SF - источник скорости

7. Сопротивление R - трение или другие виды механических потерь

8. Ёмкость С – эффекты аккумуляции потенциальной энергии и энергии упругости

9. Инерционность I – аккумуляция кинетической энергии (или эффект массы)

10. Трансформатор TF - прямой рычаг или действие сил сцепления

11. Гиратор GY - гироскопическая связь или взаимодействие между двумя полусвязями

12. Нулевой узел - сумма сил инцидентных полусвязей

13. Единичный узел - сумма реакций скоростей инцидентных полусвязей

Замечание: Интерпретация естественным образом распространяется на случай механики вращения и основывается на следующих аналогиях:

а) усилию е – это вращающий момент;

б) поток f - угловая скорость.

10.6. Пример моделирования динамической системы

В качестве объекта моделирования возьмем простой воздушный вибронасос (см. рис. 10.2).

Электромагнитный привод приводит в движение небольшой постоянный магнит 1, укрепленный на шарнирном рычаге 2, который в свою очередь приводит в действие резиновый сильфонный насос 4. Резиновые обратные клапаны 5 насоса подают воздух.

Процесс моделирования начинается с построения диаграммы основных связей в устройстве.

Рис. 10.2. Схема воздушного насоса:

1 – магнит; 2 – рычаг; 3 – шарнир;

4 – сильфон; 5 – клапан; 6 – вход; 7 – выход

Основная схема воздушного насоса состоит из трех последовательно соединенных устройств: электромагнитного привода, рычага и воздушного сильфона. Воздушный промежуток в электромагнитном приводе выбран достаточно большим, чтобы оправдать предположение о постоянстве коэффициента связи при относительно малой амплитуде колебаний. Таким образом, можно воспользоваться тремя линейными моделями, соединенными между собой.

Наиболее важные 1-связные физические свойства, которые следует учитывать при моделировании воздушного насоса, определяются массой магнита и податливостью резинового сильфона. Они образуют резонансную подсистему, которая представляет основной узел конструкции. Из других свойств (рассмотрение которых может оказаться необязательным) отметим следующие, перечисленные в произвольном порядке: сопротивление и индуктивность обмотки электромагнита, внешнее трение резинового сильфона, масса сильфона, трение в шарнире рычага, трение воздуха во входном и выходном обратных клапанах, а также сжимаемость воздуха, временно попадающего в камеру сильфона при работе насоса.

В процессе моделирования, рассмотрение которого последует ниже, будет однозначно определено, какое из этих свойств следует учесть. Из конструктивных соображений и анализа условий работы воздушного насоса можно заключить на данном этапе, что рассматриваемая модель должна удовлетворять следующим требованиям: а) учитывать основные связи в системе; б) описывать резонансные явления в подсистеме масса — пружина; в) порядок модели должен, по крайней мере, равняться двум.

Построение модели

Процесс моделирования заключается в построении надлежащего графа связей. Построив граф связей, адекватный рассматриваемому устройству, на его основе можем сразу же записать уравнения состояния. Уравнения состояния можно вывести или вручную (что здесь не представит труда), или воспользоваться вычислительной программой ENPORT [11]. Эта программа выводит уравнения состояния на основании заданного графа связей.

Построение графа связей будем проводить постепенно. На каждом этапе построения будем проверять уравнения, определяемые данным графом связей, и принимать решение относительно достаточности и полноты модели.

А. Взаимодействие системы с окружающей средой. Очевидно, насос является преобразователем с двумя входами, получающим энергию из окружающего пространства в виде постоянного напряжения и нагнетающим воздушный поток в некоторую емкость с неизвестным пока давлением. Следовательно, система замкнута на одном конце источником энергии, но на другом конце должна быть, по крайней мере на данном этапе, открытой, пока не будет определена пневматическая нагрузка.

В. Структура связей с системе. Граф связей на рис. 10.3 иллюстрирует структуру связей для воздушного насоса.

S_e

р_out

TF

Рис. 10.3. Граф связей для модели В.

Символы объяснены в таблице.

Электромагнитный привод (линейный, как принято ранее) является гиратором, а рычаг и сильфон — преобразователями этого движения. Причинная связь однозначно определяется заданием переменной усилия, т. е. напряжения на приводе. Устанавливая причинные связи вдоль графа связей, определим переменную, связанную с выходным потоком q_out. Соответствующие уравнения будут алгебраическими, поскольку данный граф связей не учитывает никаких элементов накопления энергии.

Уравнения для трех элементов связи записываем в виде причинных зависимостей:

электромагнитный привод

v₂ = (1/H)е₁, (1)

i₁ = (1/H)е₁,

рычаг

v ₃ = L v₂,

f₂ = Lf₃, (2)

воздушный сильфон

q_out = Аv₃,

f₃ = Ар_out , (3)

где L — отношение плечей рычага, Н — постоянная электромагнитной связи, А — площадь сильфона. Объединяя уравнения (1)—(3), получим

q_out = АLe₁/H,

i₁ = АLр_out/H, (B)

Уравнения, полученные на этом этапе построения графа связей, называемые моделью В, принципиально недостаточны в том смысле, что они не описывают резонансных явлений, при этом подразумевается идеальность выхода источника потока, т. е. возрастание тока до бесконечности при закрытом выходном клапане.

С. Введение резонанса. Для того чтобы правильно описать резонансные характеристики воздушного насоса, следует включить в рассмотрение массу магнита и податливость воздушного сильфона. Соответствующий граф связей приведен на рис. 10.4.

H

S_e

TF

v₄

f₃

I

M

Рис. 10.4. Граф связей для модели С

Замечание: Добавление какого-либо графа приводит к изменению нумерации всех последующих графов. Заметим, что графы перенумерованы последовательно; это сделано для всех последующих графов связей.

При задании причинной связи обнаруживается причинное противоречие: массу М нельзя считать независимым элементом накопления энергии. Далее, скорость массы М определяется величиной е₁ независимо от требуемого тока, что, очевидно, невыполнимо. Кроме того, сила, развиваемая пружиной К, является независимой переменной состояния. Как альтернативу естественнее было бы выбрать в качестве переменной состояния перемещение пружины, если жесткость пружины К является функцией перемещения.

В соответствии с графом связей С, уравнения для модели С имеют вид

d/dt f₆ = (KL/H) е₁ ;

i₁ = (M/H²) d/dt е₁ ; (C)

q_out = АLe₁/H,

Недостатки модели С очевидны:

1. Она не является моделью второго порядка, следовательно, не описывает резонансные явления.

2. Любая разрывность в напряжении источника приведет к бесконечному возрастанию тока. Очевидно, ток не может возрастать до бесконечности из-за наличия импеданса обмотки электромагнита. Это соображение приводит к следующему этапу построения модели.

D. Введение импеданса обмотки электромагнита. Изучение модели С приводит к необходимости учета импеданса обмотки электромагнита. Чтобы сохранить минимальный порядок модели, в качестве первого приближения импеданс принимаем равным активному сопротивлению обмотки R. Предполагается, что такое дополнение разрешит причинное противоречие модели С.

Новый граф связей показан на рис. 10.5, где введено сопротивление обмотки R последовательно с источником напряжения S_e. Чтобы полностью определить причинную зависимость для этого графа, вводим определенное давление нагрузки S_p. В этой схеме отсутствуют причинные противоречия, и имеются два независимых элемента накопления энергии (аккумулятора). Значит, этот граф связей приводит к модели второго порядка, что и требуется.

e₁

TF

q_out

e₂

R

R

Рис. 10.5. Граф связей для модели D

Уравнения, описывающие модель D, имеют вид

d/dt f₈ = KL v₅ ;

d/dt v₅ = (1/M) [(H/R) S_e - (H²/R) v₅ – Lf₈ - LAS_p] ; (D)

q_out = АL v_{5 .}

Модель D представляет собой существенное улучшение модели С. Ею можно легко воспользоваться для изучения поведения воздушного насоса в резонансном режиме, но она все еще содержит очевидные недостатки. Например, если заменить источник выходного давления источником потока S_q, то граф (рис. 10.6) окажется противоречивым с точки зрения движения массы магнита; это противоречие возникает из-за того, что v₅ определяется выходным потоком: v₅ = 0, если S_q = 0. Это не соответствует фактическому процессу в насосе. В действительности если поток заперт, то масса продолжает движение с меньшей амплитудой, а собственная частота увеличивается, т. е. имеется линейная зависимость между частотой и увеличением фазового угла между напряжением и скоростью. При закрытом выходном отверстии система оказывается жестче из-за упругости воздуха в сильфоне.

e₁

Рис. 10.6. Граф связей для модели D с источником потока

Е. Введение сжимаемости воздуха. Эффекты, связанные со сжимаемостью воздуха, можно моделировать в виде пневматической податливости в сильфоне. Соответствующий граф связей, в котором находит отражение указанное дополнение, приведен на рис. 10.7.

Добавление емкости вводит новую переменную состояния р₁₁. Для того чтобы избежать причинного противоречия, переменную усилия в новом нулевом узле следует определить через переменную состояния р₁₁, а не р_out. В результате соответствующая математическая модель будет представлять собой источник давления, а не источник потока; следовательно, должен быть определен выходной поток. Это легко проверяется по уравнениям, соответствующим модели Е:

d/dt f₈ = KL v₅ ;

d/dt v₅ = (1/M) [(H/R) S_e - (H²/R) v₅ – Lf₈ – LAp₁₁] ; (E)

d/dt p₁₁ = (1/C) [ALv₅ – S_q] ;

p_out = p_{11 .}

e₁

f₄

1

V4 v7 qout v6 v9 q10 p11 q11 c c

f₅

Рис. 10.7. Граф связей для модели Е

S_p

e₁

TF

q_out

p₁₁

S_q

C

C

Рис. 10.8. Граф связей для модели Р

Введение выходного сопротивления будет делать модель более гибкой в том смысле, что можно будет определить либо р_out, либо q_out.

F. Введение сопротивления выходному потоку. Дополнение модели сопротивлением выходному потоку дает возможность учитывать нелинейные эффекты, связанные с переключающими свойствами обратных клапанов. Если впускное и выпускное давления насоса отличаются незначительно, то они не окажут существенного влияния на динамику воздушного насоса, следовательно, при анализе внутренней динамики насоса можно пренебречь нелинейным двойным эффектом.

Это следует из того, что у рассматриваемой модели суммарный нулевой поток. Однако нелинейность можно считать внешней по отношению к насосу. Следовательно, действительный выходной поток будет представлять собой усреднение положительных полупериодов q_out. Если предположить, что трение воздуха линейно, можно построить граф связей F так, как показано на рис. 10.8.

Соответствующие уравнения имеют вид

d/dt f₈ = KL v₅ ;

d/dt v₅ = (1/M) [(H/R) S_e - (H²/R) v₅ – Lf₈ - LAS_p] ; (F)

d/dt p₁₁ = (1/C) [ALv₅ – (1/R₀) (p₁₁ - p_out)];

q_out = (p₁₁ - p_out)/ R_{0 .}

Последние два уравнения можно записать следующим образом:

d/dt p₁₁ = (1/C) [ALv₅ – R₀ q_out];

p_out = p₁₁ - R₀ q_out.

При более сложных условиях присоединения нагрузки нужно детальнее изучать нелинейные свойства клапанов и их влияние на работу системы, в этом случае можно воспользоваться графом связей, показанным на рис. 10.9. Здесь R представляет диодную характеристику.

R

Sq_in

R

Рис. 10.9. Нелинейный граф связей для модели F

Математическая модель, заданная уравнениями (F), представляет собой минимально приемлемую модель воздушного насоса. Это модель минимального порядка, которая удовлетворяет всем основным требованиям; она не содержит никаких причинных противоречий, целесообразна с точки зрения выбора входных и выходных переменных, позволяет учесть входной импеданс и, что важнее всего, представлена в форме, пригодной для решения задачи на ЭВМ.

Можно ввести еще два дополнения, которые учитывали бы индуктивность обмотки и собственное демпфирование резинового сильфона. Относительную важность этих двух физических свойств можно оценить из анализа численных значений постоянных I и В, проделанного в следующем разделе.

G. Введение индуктивности обмотки и демпфирования сильфона. При введении I и В получим новый граф, показанный на рис. 10.10.

Соответствующие уравнения имеют вид

d/dt i₂ = (1/I) [S_e - Ri₂ – Hv₆] ;

d/dt v₆ = (1/M) [H i₂ – Lf₉ –L²B v₆ –ALp₁₁] ;

d/dt f₉ = KLv₆; (F)

d/dt p₁₃ = (1/C) [ALv₆ – (1/R₀) (p₁₃ - p_out)];

q_out = (p₁₃ - p_out)/ R_{0 .}

I

I

e₁

e₂

S_p

Рис. 10.10. Граф связей для модели G

В матричном виде модель G записывается следующим образом:

Исследование модели

Построены две математические модели воздушного насоса: F — модель минимального порядка и G — модель порядка на единицу выше. Условие построения этих моделей состояло в адекватности описания динамики устройства. Другим мотивом может служить оптимизация устройства. Для проверки правильности построения модели и ее надежности следует задаться необходимыми численными значениями параметров. Данное исследование преследует две цели:

1. из сравнения относительных значений параметров, связанных с физическими свойствами, по которым отличаются модели F и G, определить наиболее пригодную модель;

2. путем моделирования на ЭВМ с использованием полученных моделей определить переходную и частотную характеристики насоса.

Значения параметров, необходимых для анализа полученных моделей, были определены экспериментально и приведены в табл. 10.1.

Таблица 10.1. Числовые значения

При этих численных значениях параметров в модели G уравнения состояния насоса принимают вид

-577 -3,34 0 -0,0907

1190 0 902 -0,0907

0 116 0 0

0 54000 0 -01700

24,35 0

0 0

0 0

0 1700

Удобный способ проверки относительной важности параметров заключается в масштабировании матрицы А уравнений состояния с тем, чтобы уравнять все численные значения. Этот процесс в принципе аналогичен масштабированию при вычислениях на аналоговых машинах. Если взять переменные i₅ и p₄ соответственно в масштабах 30 и 10^-3, получим уравнения

-577 -100 0 0

39,7 0 -902 -90,7

0 116 0 0

0 54 0 -1700

30

730 0

0 0

0 0

0 1,7

Теперь можно заключить, что в уравнениях состояния достигнут благоприятный численный баланс, означающий, что все физические свойства, отраженные в модели G, одинаково важны. Элементы главной диагонали соответствуют в первом приближении постоянным времени системы: более быстрые процессы определяются пневматической постоянной времени, а более медленные — электрической постоянной времени. Конечно, кроме этих действительных корней, имеется пара комплексно сопряженных корней, соответствующих резонансной частоте. Измеримые демпфирующие эффекты обусловлены только сопротивлением обмотки и трением воздуха.

Интересно отметить, что при моделировании на ЭВМ было получено максимальное значение скорости выходного потока на частоте 54 Гц, а в реальном воздушном насосе максимум скорости потока достигается на частоте 57 Гц. Коэффициент усиления при резонансе, полученный из результатов моделирования, был равен 12, а в эксперименте 10,5.

Заключение

Использован простой пример для демонстрации исключительных возможностей графов связей при моделировании систем. Моделирование систем может стать непосредственным логическим процессом при построении соответствующего графа связей.

Процесс моделирования можно начинать с рассмотрения основной структуры связей и функциональных свойств системы, затем, шаг за шагом, можно добавлять другие свойства системы, такие, как накопление энергии, ее диссипацию, а также зависимости вход — выход.

Преимущество графов связей заключается в возможности проведения исчерпывающего анализа взаимодействия между топологическими связями и 1-связными элементами, и на любом этапе процесса моделирования предсказывать результаты.

Глава 11. Моделирование автоматизированной линии сборки

11.1. Описание автоматизированной линии сборки

Автоматизированная линия сборки – это интегрированная адаптивная система, которая включает в себя (рис. 11.1):

1. технологическую систему линии сборки, представляющая собой автоматизированную многономенклатурную (групповую) поточную линию,

2. автоматизированную систему управления технологической системой и

3. автоматизированную систему проектирования технологических процессов.

Рис. 11.1. Состав автоматизированной линии сборки изделий:

Р –робот-штабелер, обслуживающий стационарный склад;

М₁ и М₂ – мобильные склады, подключенные к стационарному складу через порты приема.

В дальнейшем будем рассматривать только технологическую систему автоматизированной линии сборки, которую будем называть технологической линией сборки (ТЛС). Она ТЛС сборки изделий предназначена для

• хранения деталей, узлов, готовых и бракованных изделий, которые находятся в тарах, а также пустых тар;

• перемещения тар и отдельных деталей, узлов и собранных изделий;

• измерения деталей и узлов;

• выполнения сборки изделия и его узлов,

• контроля качества сборки изделия.

ТЛС изделий построена по модульному принципу.

Определение 11.1. Под модулем ТЛС будем понимать совокупность устройств или/и действий, которые позволяют решить самостоятельную часть прикладной задачи.

Модуль ТС включает, в общем случае, несколько устройств, которые имеют свое управление. Модули ТЛС построены на базе оборудования с программным управлением. Сложность программного управления оборудованием различна. Например, программное обеспечение столиками формирует только данные о состоянии столика: занят или свободен, а программное обеспечение станциями распределяет и согласует работы нескольких устройств, а также определяет нештатные ситуации. Следовательно, модуль может выполнять рабочий переход, вспомогательный переход, технологическую операцию, совокупность технологических операций, транспортную операцию.

Все модули можно разделить на уровни. Так как в дальнейшем мы будем рассматривать изделие «микрообъектив» (МО), выделим четыре уровня таких модулей.

Определение 11.2. ТЛС МО является модулем по отношению к внешней среде.

Этот модуль – это модуль четвертого уровня. Он имеет собственное управление в виде автоматизированная система управления технологической системой (см. рис. 11.1).

ТЛС делится на модули третьего уровня (рис. 11.2). Каждый модуль выполняет специальные функции: сборка узлов, или сборка МО, или хранение тар. Эти технологические функции слабо зависимы.

Определение 11.3. Модули, выполняющие слабо зависимые технологические функции, назовем технологическими зонами.

Следовательно, зоны образуют модули третьего уровня. Каждый модуль третьего уровня имеет собственное управление и объединяет законченные операции технологического процесса. Объединение технологических операций в каждой зоне выполняется транспортной линией:

• зона измерения и сборки узлов имеет замкнутую транспортную линию;

• зона сборки МО также имеет замкнутую транспортную линию;

• зона складской системы объединяется роботом-штабелером, который двигается по направляющим.

Синхронизирует совместную работу зон модуль четвертого уровня.

Рис. 11.2. Состав технологической системы линии сборки

Технологические системы, образующие зоны, – это модули второго уровня, которые выполняют конкретные технологические операции сборки, хранения или перемещения.

Определение 11.4. Назовем технологическую систему, которая выполняет конкретную технологическую операцию по сборке МО, станцией.

Определение 11.5. Назовем технологическую систему, которая выполняет операцию хранения, складом.

Определение 11.6. Назовем технологическую систему, которая выполняет операцию перемещения, транспортной линией.

На рис. 11.2 перечислены все станции, и они заданы в порядке их обхода в зоне по транспортной линии.

Каждый модуль второго уровня имеет свое управление и выполняет технологические переходы. Будем различать следующие модули второго уровня: станция, мобильный склад, стационарный склад, транспортная линия зоны, транспортная линия склада.

Синхронизирует совместную работу станций, складов и транспортных линий соответствующий модуль третьего уровня.

На рис. 11.3 — 11.13 представлены составы модулей второго уровня.

Модули второго уровня создаются из модулей первого уровня.

Определение 11.5. Назовем модули первого уровня основными модулями технологические системы.

Каждый основной модуль имеет собственное управление. К основным модулям ТС сборки относятся:

• роботы-манипуляторы, контрольно-измерительные устройства и установки, автоматы для выполнения сборочных операций;

• шатлы, стрелки и фиксирующие устройства на транспортных линиях зон;

• тележки, ящики, стеллажи с ячейками и столиками, робот-штабелер, направляющие в складской системе.

Синхронизирует совместную работу основных модулей каждой станции или транспортной системы соответствующий модуль второго уровня.

Основной модуль состоит из отдельных элементов, которые назовем элементами нулевого уровня. Эти элементы могут иметь свое управление. Но они не выполняют законченного действия технологического процесса. Например, перемещение робота-манипулятора происходит по трем координатам, но только при совместном перемещении по трем координатам формируется технологический переход «Переместить “что-то” из точки A в точку B». Поэтому они не представляют интерес для моделирования.

11.2. Дополнительные понятия к моделированию

Высокая стоимость создания и обслуживания современного интеллектуального оборудования, к которым относится ТЛС изделий, выдвигает на первый план проблему оптимизации процессов, выполняемых ТЛС.

Введем основные понятия, которые позволят описать процесс проектирования моделей и оптимизировать процессов функционирования ТЛС. К основным понятиям ТЛС относятся модуль, технологический процесс функционирования (ТПФ) ТЛС, материальный поток и виртуальная сборка.

Определение 11.2. ТПФ – это система действий, выполняемых ТЛС во время изготовления изделия.

Система действий, в общем случае, включает действия по сборке узлов и изделий, перемещению объектов (деталей, узлов и изделий), измерению деталей и узлов, контролю качества собранных узлов, складированию объектов, комплектации деталей и узлов, передаче данных, ожиданию.

Рис. 11.3. Состав станции комплектации и сборки узлов

Рис. 11.4. Состав станции бесконтактных измерений

Рис. 11.5. Состав станции контактных измерений

Рис. 11.6. Состав станции сборки узла «внутренний стакан»

Рис. 11.7. Состав станции контроля качества микрообъектива

Рис. 11.8. Состав станции сборки узла «корпус»

Рис. 11.9. Состав станции контроля высоты микрообъектива

Рис. 11.10. Состав станции окончательной сборки микрообъективов

ТПФ имеет несколько уровней декомпозиции:

• уровень ТЛС,

• уровень зон и складской системы,

• уровень станций и транспортных линий,

• уровень отдельных устройств.

Определение 11.2. Материальные потоки – это движение тар, деталей и узлов на ТЛС изделия.

Потоки вне станций – это потоки тар, потоки на станциях – это потоки деталей и узлов. Потоки также делятся по компонентам ТЛС.

Определение 11.3. Виртуальная сборка – это процесс проектирования ТПФ, в котором по результатам измерений деталей и узлов определяются элементы, входящие в конкретную сборку.

11.2. Состав задач моделирования процессов функционирования

технологической линии сборки

ТПФ ТЛС зависит от ситуации, которая зависит от свойств конкретных деталей, поступивших на сборку, содержания тар, состояния оборудования и т.п., и имеет несколько вариантов исполнения. Поэтому с целью обеспечения эффективной эксплуатации ТЛС необходимо решать при проектировании ТПФ следующие задачи:

• определение загрузки ТЛС в целом;

• определение загрузки отдельных компонентов ТЛС;

• оценка времени сборки МО:

• оценка возможности выполнения заказа в заданные сроки;

• выявление возможности дополнительной загрузки оборудования;

• обеспечение наивысшей производительности ТЛС за счёт применения эффективных методов управления материальными потоками, задаваемыми в виде различных дисциплин обслуживания.

Для решения перечисленных задач необходимо построить концептуальные и математические модели функционирования технологических систем ТЛС, определить показатели эффективности, сформулировать критерий оптимальности и выполнить модельные эксперименты, направленные на выявление свойств и закономерностей, присущих процессам, протекающим в исследуемой системе.

11.3. Концептуальные модели функционирования технологической линии сборки

В ТПФ ТЛС можно выделить шесть этапов, а именно: начальный, переходный, устойчивый, предаварийный, и выхода из аварийного состояния, выхода из тупиковой ситуации. Каждый этап при моделировании рассматривается как самостоятельный (независимый) процесс, поэтому опишем для каждого этапа свою концептуальную модель.

Концептуальная модель начального этапа. Начальный этап – это процессы начальной загрузки деталей из мобильных складов в стационарный и локальные склады, на станции измерений, а также виртуальная сборка узлов «линза в оправе». На этом этапе работает только зона измерений и комплектации. В качестве критерия оценки решений следует выбрать время, затраченное от поступления первых тар на ТЛС до начала проведения результативной виртуальной сборки узлов «линза в оправе».

На этом этапе ТПФ является детерминированным, что обеспечивается наличием моделей состояния тар в базе данных.

Концептуальная модель переходного этапа. Переходный этап – это процессы сборки и измерения узлов «линза в оправе» и деталей, виртуальная сборка МО. На переходном этапе работает только зона измерений и комплектации. В качестве критерия оценки решений следует выбрать время, затраченное от начала сборки узлов «линза в оправе» до проведения результативной виртуальной сборки МО.

На этом этапе ТПФ является детерминированным, что обеспечивается наличием моделей тар в базе данных и результатов виртуальной сборки узлов.

Концептуальная модель устойчивого этапа. Устойчивый этап – это процессы комплектации стаканов и корпусов и сборки МО. В зоне измерения и комплектации могут параллельно измеряться детали и узлы, собираться узлы «линза в оправе», комплектоваться детали и узлы для освобождения тары, выполняться виртуальная сборка узлов и МО. В качестве критерия оценки решений следует выбрать производительность линии по сборке МО.

На этом этапе ТПФ является стохастическим, что объясняется.

Концептуальная модель предаварийного этапа. Предаварийный этап – это процессы дозагрузки локальных складов, а также выгрузки пустых тар, тар с браком и тар с собранными МО. В качестве критерия оценки решений следует выбрать время, затраченное на ликвидацию предаварийной ситуации.

На этом этапе ТПФ является стохастическим. Это объясняется двумя моментами. Первый состоит в том, что не смотря на то, что сборка МО выполняется по результатам виртуальной сборки, из-за неточности математических моделей обеспечения качества МО может быть не получена заданная точность сборки внутреннего стакана и корпуса прибора. Следовательно, во время выполнения ТПФ возникает необходимость его видоизменения. Например, положить стакан или корпус после контроля в тару с браком, отправить специальную тару или тару с браком на склад. Второй момент – это открытость ТПФ, т.е. ТПФ можно пополнять действиями по сборке новых МО после выполнения виртуальной сборки по новым результатам измерений деталей и узлов.

Концептуальная модель этапа выхода из аварийного состояния. Этап выхода из аварийного состояния – это процессы освобождения на станции комплектации тары, которая не полностью заполнена, и выгрузки пустой тары со стационарного склада, а также загрузка специальной тары в стационарный склад. В качестве критерия оценки решений следует выбрать время, затраченное на ликвидацию аварийной ситуации.

На этом этапе ТПФ является стохастическим, что объясняется.

Концептуальная модель этапа выхода из тупиковой ситуации. Этап выхода из тупиковой ситуации – это процессы освобождения станций и/или транспортных линий, и/или стационарного склада. Этот процесс возникает, если процессы сборки, измерений, складирования и т.п. не могут продолжаться из-за непредвиденных обстоятельств. В качестве критерия оценки решений следует выбрать время, затраченное на ликвидацию тупиковой ситуации.

На этом этапе ТПФ является стохастическим, что объясняется.

Материальные потоки могут быть трех типов:

1. независимые потоки, которые могут одновременно потребовать один и тот же ресурс и задерживать друг друга. Поэтому возникает задача определения дисциплины обслуживания материальных потоков с наивысшей пропускной способностью;

2. зависимые потоки, которые развиваются строго последовательно. В этом случае требуется только оценка времени обслуживания материальных потоков, чтобы определить общую загрузку ТЛС;

3. частично зависимые потоки, которые при их разветвлении требуют решения задачи обеспечения наивысшей пропускной способности технологической системы сборки, но, учитывая периоды последовательного их выполнения, необходимо отдельно определить общую загрузку ТЛС.

В каждом типе выделяются детерминированные и стохастические материальные потоки. Рассмотрим разделенные по зонам потоки.

В складской зоне материальные потоки выполняются роботом-штабелером, поэтому все процессы по перемещению тары могут выполняться строго последовательно. Время обслуживания одного материального потока определяется по зависимости:

T = t_х + t_в + t_д + t_у , (1)

где t_х – время подхода робота-штабелера к заданной позиции, t_в – время взятия тары, t_д – время доставки тары в заданную позицию, t_у – время установки тары.

Схема обслуживания материальных потоков в складской зоне определяется во время виртуальной сборки, поэтому все составляющие выражения (1) – это детерминированные величины. Исключение составляют некоторые материальные потоки, связанные с зоной 2: доставка в стационарный склад бракованных узлов, загрузка на станции пустой тары и тары с новым комплектом компенсаторов. Следовательно, возникает необходимость определения вероятности задержки процессов сборки МО и определения дисциплин обслуживания материальных потоков, позволяющие минимизировать время задержки процессов сборки МО. На основе анализа материальных потоков формируются рекомендации по реорганизации работы складской зоны.

В зоне измерений и комплектации обслуживание материальных потоков реализуется с помощью транспортной линии и трех станций (комплектации и сборки узлов, бесконтактного и контактного измерения деталей и узлов). Транспортная линия зоны не имеет параллельных веток. Но технология работы станций зоны предполагает съем с транспортной линии тары на специальные столики станций, что дает возможность организовать параллельное обслуживание материальных потоков. Время обслуживания материального потока определяется по зависимостям:

• при комплектации и сборке, или при комплектации, или при измерении

T = T_П + T_Р + T_С , (2)

• при комплектации, сборке и измерении узла «линза в оправе»

T = T_П + t_ру + T_И + T_рИ + T_С , (3)

где T_П – время перемещения шатла (с тарой или без нее) на соответствующую станцию, T_Р – время выполнения работ по комплектации, или измерениям, t_ру – время выполнения работ по сборке узла «линза в оправе», T_И – время перемещения тары с узлами «линза в оправе» на позицию соответствующей станции измерений, T_рИ – время измерения узлов на соответствующей станции измерений, T_С – время перемещения тары от соответствующей станции до позиции съема.

Время T_П, в общем случае, определяется по зависимости:

T_П = t_т + T_O + t_с , (4)

где t_т – время движения шатла по транспортной линии до соответствующей станции, T_O – время ожидания около предыдущих станций, если там стоят шатлы, t_с – время снятия тары с шатла на станцию.

За счет виртуальной сборки все составляющие выражения (2) – (4) являются детерминированными величинами, а времена T_O можно свести к нулю. Исключение составляет время t_ру, которое является стохастической величиной. Поэтому необходимо определить вероятности сборки узлов МО, определить дисциплины обслуживания материальных потоков, позволяющие минимизировать их время задержки, и сформировать рекомендации по организации работы станции сборки узлов «линза в оправе».

В зоне сборки МО обслуживание материальных потоков реализуется с помощью транспортной линии и пяти станций сборки и контроля качества МО. Технологические операции по сборке и контролю МО выполняются строго последовательно. После контрольных операций предусмотрены параллельные транспортные ветви, которые позволяют при появлении брака организовать параллельные материальные потоки бракованных узлов МО. Таких потоков два. Технология работы станций зоны предполагает съем с транспортной линии тары на специальные устройства станций. Поэтому станции можно условно рассматривать как дополнительные ветки транспортной линии, а, следовательно, освобождать транспортную линию для перемещения тары с дополнительными комплектующими деталями и удаления освободившейся тары. Время обслуживания материального потока определяется по зависимостям:

• при комплектации станций

T = T_П + T_лс , (5)

• при сборке МО

T = T_П + t_рс + t_ра + t_рк + t_рв + t_ро + T_М + T_С , (6)

• при удалении со станции тары (с браком МО, пустой тары и т.д.)

T = T_П + T_С , (7)

где T_лс – время установки тары в локальный склад, t_рс – время выполнения работ по сборке узла «стакан», t_ра – время выполнения работ по контролю качества изображения, t_рк – время выполнения работ по сборке узла «корпус», t_рв – время выполнения работ по контролю высоты МО, t_ро – время выполнения работ по окончательной сборке МО, T_М – время перемещения тары между станциями.

За счет виртуальной сборки многие составляющие выражения (5) – (7) являются детерминированными величинами, времена T_O можно свести к нулю. Исключение составляют появление материальных потоков по удалению бракованных МО и выгрузки и догрузки измеряемых деталей и узлов, а также времена t_ра и t_рв, которые являются стохастическими величинами. Поэтому необходимо определить вероятности сборки узлов МО, определить дисциплины обслуживания материальных потоков, позволяющие минимизировать их время задержки, и сформировать рекомендации по организации работы станций сборки узлов МО.

Модель ТПФ ТЛС. В качестве моделей ТПФ могут использоваться стохастические модели, позволяющие учесть случайный характер протекающих в ней процессов, и принцип многоуровневого иерархического моделирования [2], в соответствии с которым на основе простейших базовых моделей, учитывающих наиболее важные особенности ТЛС, могут строиться более сложные модели, отображающие свойства отдельных подсистем (локальные модели) или всей системы в целом (глобальные модели). Для обеспечения корректности и повышения достоверности результатов моделирования эффективным является комбинированный подход, основанный на сочетании аналитического и имитационного моделирования ТПФ ТЛС.

Оценка загрузки оборудования и анализ влияния различных способов организации на характеристики ТПФ ТЛС МО могут быть выполнены с использованием структурно-функциональных моделей, построенных в терминах теории очередей, изучающей стохастические системы обслуживания с дискретным характером функционирования [2].

Модель ТПФ ТЛС МО может быть представлена как открытая сеть очередей. На рис. 1 показан фрагмент модели, отображающий процессы, протекающие в зоне комплектации и измерений изделий и зоне сборки МО. Каждый узел отображает соответствующие этапы ТЛС МО: этап 1 с двумя параллельными фазами и – измерение оптических (фаза ) и механических (фаза ) деталей МО; этап 2 – сборка узлов; этап 3 – сборка МО.

В качестве исходных параметров модели задаются интенсивности поступления оптических и механических деталей, длительности выполнения технологических операций на каждом этапе и вероятности , появления бракованных оптических и механических деталей в процессе измерений на первом этапе. Без потери общности положим, что . Кроме того, учитывая, что некоторые материальные потоки и сборки узлов ТПФ являются случайными, необходимо задать вероятностные законы распределения соответствующих случайных величин. Поскольку не все величины априори известны, моделирование может проводиться при различных предположениях о характере поступления и обработки деталей с целью анализа различных вариантов организации ТПФ.

Реализация представленной модели может выполняться с использованием как аналитических, так и имитационных методов [3]. Применение аналитических методов предполагает введение ряда ограничений на параметры и характер функционирования ТЛС в виде допущений и предположений. В частности, точные методы расчета характеристик разомкнутых сетевых моделей получены только для так называемых экспоненциальных моделей, в которых процессы поступления и обслуживания заявок, в качестве которых в нашем случае выступают оптические и механические детали, должны быть марковскими, то есть временные интервалы между поступающими заявками и длительности их обслуживания должны быть распределены по экспоненциальному закону [2]. Если указанные законы распределений отличаются от экспоненциальных, погрешности расчета вероятностно-временных характеристик ТПФ ТЛС МО могут оказаться значительными. В то же время при оценке загрузки оборудования аналитический подход позволяет получить точные результаты, поскольку загрузка определяется средними значениями параметров и не зависит от вероятностных распределений.

Характеристики функционирования ТЛС. На основе перечисленных параметров могут быть рассчитаны характеристики, описывающие эффективность функционирования ТЛС. Расчет характеристик функционирования линейных разомкнутых однородных экспоненциальных сетевых моделей базируется на эквивалентном преобразовании сети [2].

Интенсивности потоков деталей, поступающих на 2-й и 3-й этапы, одинаковы и рассчитываются как . Тогда общее время, затрачиваемое на сборку МО, может быть рассчитано по формуле:

,

где ; ; – коэффициенты загрузок оборудования на обеих фазах первого этапа; ; ; – коэффициенты загрузок оборудования соответственно на первом, втором и третьем этапах ТПФ ТЛС МО.

На рис. 2 показан характер зависимости времени, затрачиваемого на сборку МО, от интенсивности поступления деталей на ТЛС. Отметим, что имеется некоторое предельное значение интенсивности , при котором среднее время сборки МО становится бесконечно большим, что свидетельствует о перегрузке в ТЛС, которая наступает в том случае, когда загрузка одного из узлов становится равной единице. Такой узел называется «узким местом» и характеризуется тем, что очередь деталей перед ним со временем растёт до бесконечности. Для того чтобы избавиться от перегрузки, необходимо разгрузить «узкое место», что может быть достигнуто, например, увеличением скорости сборки узлов и МО, что позволяет увеличить производительность ТЛС в целом и, как следствие, улучшить характеристики её функционирования. Зависимость среднего времени сборки МО от интенсивности поступления деталей в ТЛС принимает вид , то есть время сборки МО при одной и той же интенсивности поступления деталей становится меньше, а предельное значение интенсивности , при котором наступает перегрузка, становится больше: . При этом возможно появится новое узкое место, и дальнейшее улучшение ТЛС может быть достигнуто путём разгрузки нового узкого места. Очевидно, что разгрузка узкого места ТЛС за счёт увеличения скорости сборки означает увеличение её стоимости. Наилучший вариант построения ТЛС достигается в случае равенства загрузок всех устройств, входящих с состав ТЛС. Такая система называется сбалансированной.

Для того чтобы в системе не было перегрузок, необходимо выполнение условия [2]:

,

где .

Выражение в правой части представленного неравенства определяет максимально допустимую интенсивность поступления деталей на ТЛС МО.

Если указанное условие не выполняется, то, как следует из него, стационарный режим в ТЛС может быть реализован одним из следующих способов: уменьшением интенсивности поступления деталей на ТЛС или уменьшением длительностей обработки в перегруженных узлах до значений, при которых это условие будет выполняться.

Задача оптимизации. Рассмотрим теперь задачу оптимизации ТПФ ТЛС МО с использованием представленной модели. Предположим, что для любой конфигурации технических средств и стратегии управления ТПФ, содержащим, в общем случае, этапов обработки и сборки МО, могут быть определены коэффициенты простоя оборудования на каждом из этапов, равные дополнению до единицы коэффициентов загрузки , т.е. , и среднее время сборки МО. Значения и зависят, в первую очередь, от времени обработки на каждом этапе, которое определяется быстродействием оборудования и количеством параллельно обрабатывающих станций, а также от стратегии управления в ТЛС. Положим, что – штраф за задержку на единицу времени в процессе сборки МО. Рассмотрим величину

, (8)

где – стоимость оборудования -го этапа.

Первое слагаемое в (8) определяет цену простоя оборудования, а второе – штраф за задержку в процессе сборки МО. Таким образом, величина характеризует суммарные потери в ТЛС: чем меньше эти потери, тем выше эффективность ВС. Показатель называется критерием сбалансированности. Загрузка оборудования определяет эффективность использования ресурсов системы. При равных условиях более высокую эффективность имеет система, оборудование которой полнее используется в процессе сборки МО, так как система с большей загрузкой оборудования имеет в среднем более высокую производительность, т. е. обеспечивает сборку большего количества МО в единицу времени. Указанные характеристики зависят от целого ряда параметров, определяющих как нагрузку (время сборки МО на каждом этапе и интенсивность поступления деталей для сборки МО), так и структурно-функциональную организацию системы.

Для определения оптимальных значений времени обработки на каждом этапе ТПФ, запишем выражения для расчёта коэффициентов простоя и времени сборки МО: .

Тогда выражение (8) примет вид:

.

Взяв частные производные от по и приравняв их нулю, получим систему уравнений, решение которой имеет вид:

. (9)

Выражение (9) определяет оптимальные значения времени сборки МО на каждом этапе ТПФ, которые могут быть достигнуты за счет использования оборудования с соответствующей производительностью или за счет параллельной сборки на нескольких однотипных устройствах в пределах одного этапа.

Заключение. Рассмотренная задача моделирования и оптимизации ТПФ ТЛС МО решалась при использовании ряда допущений и предположений, которые позволили получить результат в явном аналитическом виде. Одним из таких допущений являлось предположение о бесприоритетной дисциплине обслуживания в процессе сборки МО. При использовании других дисциплин, в том числе приоритетных, в качестве моделей ТЛС необходимо применять неоднородные сетевые модели [2]. Задачи оптимизации ТПФ ТЛС МО с использованием неоднородных моделей будут рассмотрены в последующих публикациях.

В общем случае оптимизация ТПФ ТЛС МО может потребовать громоздких математических выкладок, которые могут привести к получению приближённых аналитических результатов. В этом случае необходимо проведение детального исследования оптимизированной системы с использованием средств имитационного моделирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Падун Б.С., Латыев С.М. Интегрированная система автоматизации сборки микрообъектива // Приборостроение. 2010. № 8. с. -..

2. Алиев Т.И. Математические методы теории вычислительных систем. – Л.: ЛИТМО, 1979.

3. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.: ил.

Глава 12. Моделирование узла оптического прибора

.

12.1. Основные понятия

.

12.4. Концептуальная модель узла прибора

Рассмотрим узел «линза в оправе»

из публикации журнала H.-N. Lee, R.A. Riggleman, J.J. de Pablo, and M.D. Ediger Macromolecules, vol. 42, No. 12 – University of Minnesota – PP. 4328-4336

Деформационное непостоянство в полимерных стёклах,

исследуемое в процессе моделирования и испытаний

на ползучесть при многоступенчатой нагрузке

Аннотация:

Для изучения изменений сегментарного непостоянства в ходе деформации растяжения и ползучести проводились эксперименты по оптическому фотообесцвечиванию и компьютерное моделирование молекулярной динамики. Эксперименты проводились на образцах слаборазветвлённого органического стекла, и моделирование велось с использованием крупнозернистой модели. И для одноступенчатых, и для многоступенчатых деформаций ползучести в ходе экспериментов и моделирования отмечаются схожие отклонения с изменением непостоянства в ходе деформации, превышающие коэффициент в 100 единиц. И эксперименты, и моделирование показывают строгую корреляцию между скоростью деформации и непостоянством при одноступенчатом испытании ползучести. Однако при многоступенчатой ползучести взаимосвязь между скоростью деформации и непостоянством исчезает, и в случае эксперимента, и при моделировании; это подчёркивает, что, вероятно, ни одна простая величина в механике не даёт универсального описания простых взаимосвязей с молекулярным непостоянством. И моделирование, и эксперименты выявляют множество аспектов, несовместимых с моделью Айринга.

Введение

Фундаментальное понимание поведения полимерных стёкол при деформации – это важная научная проблема и развивающаяся область исследований. Деформация полимерных стёкол обычно описывается, как «текучесть», однако сегментарное движение в стекле такое медленное, что термин «текучесть», справедливый для жидкостей, невозможно применить в отсутствие деформации. Считается, что изменение молекулярного непостоянства в полимерных стёклах при деформации является ключом к пониманию механизма деформации. Установление связи между молекулярным непостоянством и макроскопической деформации может способствовать разработке прогнозирующей модели для описания деформации полимерных стёкол. Такая модель будет нести большую технологическую значимость, к примеру, в аэрокосмической промышленности, где полимерные композитные материалы играют всё более важную роль, и, как ожидается, предположительно найдут применение при высоких нагрузках в будущие десятилетия.

В предыдущей работе мы проводили эксперимент по оптическому фотообесцвечиванию и моделирование молекулярной динамики для выявления количественных изменений в сегментарном непостоянстве полимерных стёкол в ходе одноосной деформации ползучести. Мы заметили строгую корреляцию между непостоянством и коэффициентом растяжения при одноступенчатом исследовании ползучести. Эта корреляция согласуется с теоретическими предположениями Чена и Швайзера, и выводы были получены из сугубо механических измерений. Это наблюдение можно интерпретировать, как показатель того, что нагрузка приводит к непостоянству, которое в свою очередь позволяет полимерным стёклам быть подверженным текучести. Последние эксперименты и моделирование наводят на мысль, что внешняя нагрузка может ускорить сегментарное движение на несколько порядков. Этот результат качественно сочетается с феноменологической моделью, предложенной Айрингом в 1936 году, и, позднее, теоретической работой, основанной на концепции непостоянства, вызванного нагрузкой.

Существование простых связей между микроскопическим молекулярным движением и макроскопической скоростью деформации - удивительное наблюдение, и оно может найти применение в прогнозировании поведения полимерных стекол при деформации. Тем не менее, вполне вероятно, что обобщить результаты одноступенчатых измерений ползучести для других видов деформации не получится. Эксперименты, включающие различные виды деформации, такие как деформация многоступенчатой ползучести или деформация при постоянной скорости, необходимы для обоснования этих связей для общего случая.

В настоящем исследовании мы используем как экспериментальную проверку, так и моделирование для получения сведений о связи между непостоянством и скоростью деформации в ходе многоступенчатой деформации ползучести полимерных стекол. Мы используем оптическое фотообесцвечивание для измерения переориентации окраски в слаборазветвлённом органическом стекле в ходе деформации при температурах между T_g – 19 K и T_g – 9 K. Этот метод фотообесцвечивания оказался надёжным методом измерения изменений сегментарной динамики в полимерных стёклах в процессе деформации.

Мы также проводили компьютерное моделирование молекулярной динамики на крупнозернистой модели полимерного стекла. Помимо того, что моделирование позволяет дать количественную оценку измерениям в эксперименте, оно также обеспечивает возможность напрямую получать данные об изменениях в молекулярной структуре, вызванных деформацией, о подразумеваемом объёмном графике распределения потенциальной энергии и многих других параметрах, которые невозможно напрямую получить в ходе эксперимента. Прямое сопоставление эксперимента с вычисляемыми результатами позволяет нам понять роль молекул-образцов в эксперименте, проверить применимость модели и, в конечном счёте, произвести молекулярную интерпретацию экспериментальных наблюдений.

Мы выяснили, что и для одноступенчатой, и для многоступенчатой деформации ползучести эксперименты и моделирование отмечают одинаковые тенденции, с изменениями непостоянства в ходе деформации, превышающими коэффициент в 100 единиц. Строгая корреляция между скоростью деформации и непостоянством наблюдается лишь при одноступенчатой деформации ползучести. В случае многоступенчатой ползучести и восстановления исходного состояния, взаимосвязь между скоростью деформации и непостоянством нарушается, подчёркивая тот факт, что никакая простая величина в механике не может дать универсальное описание простых взаимосвязей с молекулярным непостоянством. И моделирование, и эксперименты выявляют множество аспектов, несовместимых с простым применением модели Айринга. Например, после уменьшения нагрузки величина непостоянства уменьшается более, чем на порядок, в то время как истинная нагрузка остаётся постоянной. Кроме того, мы наблюдаем, что после начала деформации текучести динамика процесса становится более однородной, что подтверждается увеличением β-параметра KWW, наблюдаемого в ходе эксперимента.

Методы исследования

Образец. Процедура подготовки образца уже рассматривалась ранее. Слаборазветвлённое органическое стекло (полиметил метакрилат), содержащее 10^-6 М молекул (DPPC; N, N0-дипентил-3,4,9,10-периленэдикарбоксимид) было изготовлено при помощи термической радикальной полимеризации. Размеры плёнки оргстекла, использованного в экспериментах 2.5 × 30 мм, а толщина 25 нм. Исходное значение температуры стеклования (T_g) для образцов оргстекла 395 К, согласно данным полученным при дифференциальной сканирующей калориметрии в процессе сканирования при повторном нагреве на 10 К/мин.

Измерения локальной ползучести. Для измерений локальной ползучести и непостоянства применялась деформационная ячейка с управляемой температурой. Деформация плёнки оргстекла происходила из-за одноосного растяжения и ползучести. Образец был подвергнут постоянному условному напряжению σ₀=F/A₀, где F – приложенная сила, A₀ – исходная площадь поперечного сечения образца. Действительная нагрузка увеличивается с продолжением деформации и определяется как отношение приложенной силы (F) к мгновенной площади поперечного сечения (A). Рис. 1 иллюстрирует некоторые результаты локальных измерений нагрузки и DPPC переориентации. Локальная нагрузка и непостоянство измерялись оптическим методом на аналогичном малом участке образца. Мы произвели фотообесцвечивание четырёх линий в центре образца, установив область измерений (~ 200 × 250 нм²). Для фотографирования этой малой области в различные моменты времени во время эксперимента ползучести применялась камера с ПЗС матрицей. Локальная нагрузка определяется по увеличению расстояния между двумя фотообесцвеченными ленинями (L(t)), располагающимися перпендикулярно направлению деформации (ось x), ε (t) = (L(t) - L₀)/L₀. Измерения цветовой реориентации проводились внутри области, определённой для этих четырёх линий, как пояснялось ниже. Эти измерения локальной нагрузки позволяют нам однозначно определить нагрузку в области, где производятся измерения непостоянства. Поскольку L₀ составляется всего 200 нм, и при наблюдении фотообесцвеченных линий в ходе деформации не было замечено шумов, мы можем сделать надёжное заключение, что в образце происходит однородная деформация в этой малой области.

Перед каждым измерением деформации образец предварительно нагревался до 405 К из-за невозможности оказания нагрузки как минимум в течение 3 часов для очистки термической и механической истории образца. После этого образец охлаждался до температуры эксперимента со скоростью 1 К/мин, и затем выдерживался в течении 30 минут перед начала эксперимента ползучести.

Измерения переориентации окраски. Измерения фотообесцвечивания при переориентации окраски пояснялись ранее. Мы используем софокусную флуоресцентную микроскопную систему для измерения переориентации молекул DPPC в органических стёклах. Переориентация этой окрашенной молекулы строго коррелирует с сегментарной динамикой оргстекла, как было показано в предыдущих исследованиях. Множественные измерения переориентации окраски могут быть произведены в ходе одного из экспериментов на ползучесть для определения изменения непостоянства, как функции времени.

В описываемых экспериментах мы использовали интенсивный линейно-поляризованный лазерный луч (532 нм) для фотообесцвечивания молекул. Молекулы с поглощающими диполями с привязкой к поляризации света фотообесцвечивались выборочно, что способствовало ориентированному анизотропному проникновению необесцвеченных окрашенных молекул в образце. Со временем необесцвеченные экземпляры переориентируются, образуя анизотропное проникновение. Для отслеживания этого процесса вводится слабый регистрирующий луч с круговой поляризацией для высвечивания обесцвеченной области непосредственно после фотообесцвечивания. Флуоресценция, вызванная регистрирующим лучом, разделяется на параллельные и перпендикулярные составляющие, и зависимость анизотропного распада от времени r(t) описывается следующими уравнениями:

Здесь ∆I_//(t) – это разность в интенсивности параллельной флуоресценции между необесцвеченным и обесцвеченным участками образца за время t после процесса обесцвечивания; ∆I _┴(t) определяются аналогичным методом. Поправочный фактор g используется для коррекции цветовой привязки, КПД двух детекторов и несовершенства регистрирующего луча с круговой поляризацией.

Измеренная при помощи технологии фотообесцвечивания величина r(t) пропорциональна функции ориентации автокорреляции второго порядка CF(t) поглощающего диполя, µ, для DPPC-молекулы: CF(t) = r(t)/r(0) = <P₂[µ(0)∙µ(t)]> где P₂ – второй полином Легендре. Мы подставили анизотропные затухания в расширенную экспоненциальную функцию (KWW функцию), CF(t) = e^{-(t/τ)^β}, и определили чередующееся корреляционное время τ_с, как интеграл корреляционной функции.

Ошибка регистрируемого τс определяется по тому, насколько большое анизотропное затухание мы наблюдаем в измерениях непостоянства (длительность ~340 c). На протяжение экспериментов ползучести, описываемых в этой статье мы всегда наблюдаем более, чем 50% анизотропное затухание, и соответствие KWW функции обеспечивает нас достоверными результатами. Как правило, ошибка регистрируемого τс лежит в пределах ±0.1 измеряемых величин. Однако для недеформированного образца переориентация окрашенных молекул настолько медленна, что мы наблюдаем лишь малую величину (~35%) анизотропного затухания в каждом измерении непостоянства (~340 c). В таких условиях мы не можем с точностью определить β-параметр KWW, и, как следствие, возникает большая величина ошибки в τс. По этой причине переменное корреляционное время для недеформированного образца τс,undeformed получается путём подстановки кривых анизотропного затухания в KWW функцию с сохранением фиксированного значения β = 0.32. Выбор такого значения константы основан на двух наблюдениях. Во-первых, среднее значение β для DPPC чередования в оргстекле в области Tg в отсутствие деформации составляет 0.32±0.02. Во-вторых, мы подставили 27 функций с медленным анизотропным затуханием, полученным при 375.7 К (эксперименты с низкой нагрузкой, перед началом деформации текучести) в неограниченную KWW функцию. Среднее значение β для этих данных составило 0.31±0.03. Из-за относительно малого затухания анизотропной функции, ошибка регистрируемого τс составляет как правило ±0.2 для недеформированного образца. Подробное обсуждение процедуры анализа данных и оценки ошибок можно найти в предыдущей статье.

В ходе каждого измерения анизотропного затухания (длительность ~340 c) непостоянство полимерного стекла обнаруживается непрерывно. В этих условиях описываемое непостоянство – это среднее непостоянство на протяжение этого временного промежутка ввиду того, что переменное корреляционное время вычисляется путём интеграции нормализованного анизотропного затухания. Для измерений, произведённых следом за приложением и снятием нагрузки, значимые изменения непостоянства могут возникнуть в процессе обнаружения кривой анизотропного затухания. Тогда как это вносит небольшую поправку в непостоянство, о котором идёт речь, это может вызвать более значительные ошибки при подстановке значения β-параметра KWW для этого интервала.

Для каждого изменения непостоянства мы производили обесцвечивание квадратного шаблона 7 × 7 нм2 на образце. Зависимое от времени анизотропное затухание измерялось в центре квадрата. В ходе деформации ползучести фотообесцвеченный шаблон перемещался в направлении деформации. Для отслеживания траектории перемещения шаблона использовался пьезо-позиционер, перемещающий образец в противоположную направлению деформации сторону.

Методы моделирования

Молекулярная модель. Полимерная модель, применяемая в этой работе, состоит из 81 цепочки с 500 площадок взаимодействия Леннарда-Джонса (LJ) на каждой из цепочек, исследуемая в оболочке эмулятора с регулярными пограничными условиями. Соседние площадки на полимерной основе соединены посредствам очень жёстких гармонических связей, и все несвязанные взаимодействия рассматриваются с потенциалом взаимодействия LJ, являющимся срезом на расстоянии r = 2.5σ, где σ – это размер полимерного мономера. Полное описание модели можно найти по ссылкам 21 и 33. Потенциал LJ имеет такое смещение, что энергия и силы равномерно стремятся к нулю в области среза. Все величины для результатов моделирования, отмеченные звёздочкой (*), сокращаются на LJ параметры полимерных мономеров σ, ε и масса m (например, T* = kT/ε, P* = Pσ³/ε, t* = t(mσ²/ε)^1/2).

Для рассматриваемой здесь длины, каждая цепочка состоит из примерно восьми запутанностей, и крайне долгих периодов релаксации, связанных с таким полимерным компенсационным равновесием, использующим традиционную MD сложность. По этой причине мы применяем методы Монте-Карло (MC) на высокой температуре для обеспечения характерной релаксации наших полимерных цепей. Наши MC перемещения включают перемещения с изменяемым двухсторонним уклоном с изменяемыми связями, которые позволяют получить очень эффективную релаксацию сквозной автокорреляционной функции. После получения трёх независимых уравновешенных образцов с MC при T* = 1.2, наши материалы подверглись охлаждению с уровня ΔT*/δt = 10-4 до T* = 0.35 при P* = 0.3 применяя MD в множестве NPT. Переходная температура стекла Tg* = 0.373 ± 0.001 для этого уровня охлаждения, которая оценивается по определению разрыва в плотности в сравнении с температурной кривой. Все неопределённости разрешаются из стандартной ошибки в трёх независимых конфигурациях.

После охлаждения до T*=0.35 все образцы были подвержены старению до t*= 10 000 в множестве NPT. Мы создавали деформацию ползучести, придавая постоянную эластичную нагрузку на необходимом уровне в направлении x, поддерживая постоянное давление P*=0.3 в направлениях z и y. Мы замеряем растяжение за счёт отслеживания изменения по направлению x нашей оболочки эмулятора, как функцию времени. Согласно описанным здесь экспериментам, растяжение определяется как ε(t) = (Lx(t) - Lx0)/Lx0.

Связующая автокорреляционная функция. Мы измеряем сегментарную динамику в ходе деформации, используя связующую автокорреляционную функцию Cb(t), определённую как Cb(t) = <P2(bi(t) 3 bi(0))>. Здесь P2(x) – второй полином Легендра, bi(t) – единичный вектор, относящийся к i-той связке на полимерном основании в момент времени t, а угловые скобки отражают усреднение связок в нашем образце и начального времени. По аналогии с нашей предыдущей работой, мы вычисляем Cb(t) на временных отрезках длиной t* = 1000; таким образом, в ходе данного моделирования деформации мы получаем несколько измерений Cb(t), каждое из которых даёт период релаксации. Когда мы усредняем начальные моменты времени, они ограничиваются на временном отрезке по значимости. Аналогично экспериментальному подходу, мы ставим каждую Cb(t) в соответствие с сокращённой экспонентой KWW и получаем эффективный период релаксации τb = a0 ∙ τ0 ∙ Γ(1/β)/β. Мы используем преэкспонентный параметр a0 в выражении KWW из-за того, что Cb(t) имеет угасание около 5% на временных промежутках короче, чем наше время исследования образца; это исходное угасание сообщается с динамикой, соответствующей баллистической системе и не соотносится с альфа-процессом. В предыдущих исследованиях было показано, что периоды релаксации, полученные из Cb(t) показательны для периода альфа-релаксации в стеклообразующих полимерах при сверхохлаждённых режимах, где период альфа-релаксации доступен для оценки при помощи MD-моделирования. Мы измеряем τb для недеформированного материала, проводя длительное MD-моделирование, начинающееся с этапа старения образца в процессе подготовки. Значение τ_b для недеформированного материала оценивается в пределах 18 0000 ± 60 000.

2.10. Программные системы моделирования производственных систем

Существуют различные методики моделирования бизнеса. Вот некоторые из них: методологии UP и разработанный на ее основе пакет Rational Rose, ARIS и разработанный на ее основе пакет ARIS Toolset и Adonis фирмы BOS Information Technologies Consulting. Подобные методики позволяют создать концептуальную модель предприятия. Благодаря им, можно непосредственно представлять в моделях плохо формализуемые знания менеджеров о бизнес-процессах, в частности о рабочих процедурах. На их основе строятся рабочие модели, и осуществляется связь между менеджерами и программистами.

Объектом изучения в данном методическом пособии является система Adonis – программный продукт, предназначенный для выполнения автоматизированного визуального и имитационного моделирования. Предметом моделирования может выступать любая система, но в данном случае Adonis используется для описания бизнес-процессов технологической подготовки производства (ТПП). Следует отметить, что все подходы к моделированию бизнеса принадлежат к семейству методов описания сложных информационных систем.

Анализ предметной области с помощью Adonis основан на составлении карты компании. Она представляет собой всестороннее описание бизнеса и включает модели бизнес-процессов, документов, рабочей среды и др. Параметры функций содержат события, исполнимей, временные и стоимостные характеристики процесса. Организационные модели позволяют задавать структуру отделов и число исполнителей. Все данные представляют единую структуру, что увеличивает прозрачность системы и позволяет легко ее оценивать и модифицировать.

К достоинствам Adonis относятся:

• наглядность;

• простота составления диаграммы;

• четкая логика построения моделей, которая позволяет избежать многих ошибок при проектировании;

• интуитивно-понятный интерфейс системы;

• наличие встроенных средств имитационного моделирования;

• простота перевода диаграмм в рабочие модели Wlowmark (на примере WorkFlow);

• возможность представления всех видов данных (функциональные, информационные и иерархические модели) в виде единой карты компании – комплексное описание системы.

Недостатком системы являет полное отсутствие на данный момент информации о ней на русском языке.

Система Adonis выделяется среди аналогов своей наглядностью, непротиворечивостью и большой функциональностью. Adonis позволяет связать весь объем анализируемой информации в единое целое, то есть создать концептуальную модель предприятия. Это выгодно отличает ее от методологии SADT и UP. Сравнительный анализ систем визуального моделирования в рамках данного учебного пособия не проводится. Однако выбор этой системы для описания предметной области ТПП является результатом отдельного исследования, обоснован и далеко не случаен.

Приложение 1. Элементы теории вероятностей

П.1.1. Событие, вероятность, случайная величина

Процесс функционирования производственных систем часто подвержен влиянию случайных факторов, описание которых при их моделировании выполняется в терминах аппарата теории вероятностей, которая оперирует такими понятиями как «событие», «вероятность», «случайная величина».

Определение П.1.1. Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Определение П.1.2. Вероятность события – это численная мера степени объективной возможности этого события,

Вероятность события может принимать значения от 0 до 1. Событие, вероятность которого равна 0, называется невозможным. Событие, вероятность которого равна 1, называется достоверным. Событие, вероятность которого < 1 и > 0, называется возможным.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта должно непременно появиться хотя бы одно из них. Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Несколько событий называют равновозможными в данном опыте, если ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

События называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, произошли ли другие события.

Определение П.1.3. Случайная величина – это величина, которая может принимать то или иное значение, неизвестное заранее.

Случайные величины могут быть двух типов:

• дискретные, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно пронумеровать. Например, количество отбракованных после обработки на станке деталей;

• непрерывные, которые могут принимать любое значение из некоторого промежутка. Например, время безотказной работы технологического оборудования.

Иногда случайная величина, имеющая дискретную природу, рассматривается как непрерывная. Такая замена применяется в тех случаях, когда случайная величина принимает большое множество значений, которые незначительно отличаются друг от друга, так что замена дискретной случайной величины непрерывной практически не влияет на результаты расчетов. Например, количество выпускаемых деталей в смену на автоматической линии является дискретной случайной величиной, производительность автоматической линии в смену в течении месяца, которая определяется как среднее по сменам и также является дискретной случайной величиной, часто рассматривается как непрерывная случайная величина.

Случайные величины обычно обозначают большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, случайная величина X – число отбракованных после обработки на станке деталей – может принимать значения , , , , ... . Если дискретная случайная величина X принимает n значений и каждое значение x_i принимается с некоторой вероятностью p_i = P(X = x_i) и если в результате опыта величина X принимает только одно из значений, то мы имеем полную группу несовместных событий, то

.

П.1.2. Законы распределений случайных величин

Определение П.1.4. Закон распределения случайной величины представляет собой соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет задан закон ее распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины X (дискретный закон распределения), принимающей значения , может быть задан одним из следующих способов:

• аналитически в виде математического выражения, отражающего зависимость вероятности от значения случайной величины: ;

• графически в виде многоугольника распределения, при котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений

• таблично в виде ряда распределения случайной величины, в котором перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Закон распределения непрерывной случайной величины не может быть задан в том виде, в каком он задается для дискретной величины, поскольку непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток, и вероятность появления любого конкретного значения из этого промежутка равна нулю. Для описания непрерывных случайных величин используется другой способ установления соответствия между значениями случайной величины и вероятностями их появления в виде функции распределения вероятностей.

Определение П.1.5. Функция распределения вероятностей (или просто функция распределения) F(x) случайной величины X представляет собой вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем некоторое заданное значение x:

.

Функция распределения непрерывной случайной величины X, принимающей любые значения из некоторого интервала, может быть представлена аналитически или графически.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

• F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. если x_j > x_i , то

• 

• 

Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого интервала (a, b), определяется через функцию распределения как

.

Функция распределения F(x) является универсальной характеристикой случайной величины и существует как для непрерывной, так и для дискретной величин. Функция распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения , определяется как

,

где p_i – вероятность того, что случайная величина X примет значение x_i.

На практике вместо функции распределения чаще используют другой способ представления закона распределения непрерывной случайной величины в виде плотности распределения вероятностей, которая в отличие от функции распределения обладает большей наглядностью и позволяет получить представление о близости того или иного распределения к одному из известных теоретических распределений, имеющих аналитическое выражение.

Плотность распределения вероятностей f(x) определяется как производная от функции распределения F(x) по x:

.

Размерность плотности распределения f(x) обратна размерности случайной величины, в то время как функция распределения F(x), как всякая вероятность, есть величина безразмерная.

Плотность распределения непрерывной случайной величины X, как и функция распределения, может быть представлена аналитически или графически.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Функция и плотность распределения случайной величины однозначно связаны между собой. Функция распределения определяется через плотность распределения следующим образом:

Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого интервала (a, b), может быть определена через плотность или функцию распределения:

.

Таким образом, закон распределения непрерывной случайной величины (непрерывный закон распределения) может быть задан в виде

• функции распределения F(x) случайной величины X, называемой так же интегральным законом распределения;

• плотности распределения f(x) случайной величины X, называемой так же дифференциальным законом распределения.

П.1.3. Числовые характеристики случайных величин

При решении различных задач, в том числе при моделировании производственных систем, для описания случайных величин вместо закона (функции или плотности) распределения часто используют числовые характеристики, позволяющие выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины, например:

• среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины;

• степень разбросанности этих значений относительно среднего и так далее.

В теории вероятностей используются различные числовые характеристики, имеющие разное назначение и области применения. На практике наиболее часто применяются начальные и центральные моменты, каждый из которых описывает то или иное свойство распределения. Начальные моменты рассматриваются относительно начала координат, а центральные моменты – относительно среднего значения (математического ожидания), т.е. центра распределения.

Между числовыми моментами и законом распределения случайной величины существует взаимнооднозначное соответствие, которое означает, что, зная закон распределения, можно вычислить любые моменты, число которых бесконечно. В то же время, зная конечное число начальных или центральных моментов, можно путем аппроксимации найти закон распределения случайной величины в виде функции или плотности распределения, причем, чем больше известно моментов, тем точнее аппроксимация закона распределения.

На практике обычно ограничиваются применением нескольких первых начальных или центральных моментов, что оказывается вполне достаточным для получения корректных конечных результатов.

Положим, что случайная величина Х описывается вероятностями p₁, р₂, ..., р_n появления значений х₁, х₂, ..., х_n, если Х – дискретная величина, и плотностью распределения f(х), если Х – непрерывная величина.

Начальный момент s-го порядка случайной величины Х определяется следующим образом :

Определение П.1.6. Математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины называется первый начальный момент случайной величины Х:

Математическое ожидание, которое обозначается , характеризует положение случайной величины на числовой оси, то есть показывает некоторое среднее вероятностное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Второй начальный момент случайной величины X характеризует разброс (удаленность) значений случайной величины относительно начала координат, и имеет размерность квадрата случайной величины.

Центральный момент s-го порядка случайной величины Х определяется следующим образом :

Разность между значениями случайной величины и ее математическим ожиданием (X – М[X]) представляет собой отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания и называется центрированной случайной величиной. Тогда центральный момент s-го порядка случайной величины Х можно определить как математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величины:

.

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Определение П.1.7. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается D[X]:

Дисперсия вычисляется по формулам:

Дисперсия и второй начальный момент связаны следующей зависимостью:

.

Дисперсия случайной величины, как и второй начальный момент, характеризует разброс значений случайной величины, но, в отличие от второго начального момента, относительно математического ожидания, и имеет размерность квадрата случайной величины.

При решении различных задач удобно пользоваться характеристикой разброса, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой является среднеквадратическое отклонение , которое определяется как корень квадратный из дисперсии:

.

В качестве безразмерной характеристики разброса случайных величин, определенных в области положительных значений, часто используют коэффициент вариации , который определяется как отношение среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию:

,

при условии, что .

Применение числовых характеристик существенно облегчает решение многих вероятностных задач, в частности, при решении сложных задач, когда использование законов распределений приводит к громоздким выкладкам и не позволяет получить результаты в явном виде. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. Если в задаче фигурирует большое количество случайных величин, то для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законы распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче, а достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин.

Альтернативой случайной величине является неслучайная величина, называемая детерминированной, которую можно рассматривать как случайную величину, которая с вероятностью принимает одно и то же фиксированное значение .

3.1.2. Типовые распределения случайных величин

Моделирование технических систем с дискретным характером функционирования предполагает применение разных законов распределений, как дискретных, так и непрерывных случайных величин. В качестве примеров рассмотрим некоторые типовые законы распределений случайных величин, используемые в моделях массового обслуживания:

• дискретные законы: распределение Пуассона и геометрическое распределение;

• непрерывные законы: равномерный и экспоненциальный

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность P(X=k) того, что она примет определенное значение x_k = k выражается формулой:

,

где a – некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.

На рис. П.1.1 показаны многоугольники распределения Пуассона для трех значений параметра распределения: a=0,5; a=1; a=2.

Геометрическое распределение. Распределение дискретной случайной величины X=k вида

,

где - параметр распределения (0 <   < 1), называется геометрическим.

На рис. П.1.2 показаны многоугольники геометрического распределения для трех значений параметра распределения: ; ; .

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно в интервале (a; b), где a<b, если функция F(x) и плотность f(x) распределения соответственно имеют вид:

На рис. П.1.3 показаны функция и плотность равномерного распределения.

Экспоненциальный закон распределения. Непрерывная случайная величина Х, принимающая положительные значения в бесконечном интервале , распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если функция и плотность распределения соответственно имеют вид:

где – параметр распределения; – непрерывная случайная величина.

F(x)

x

Рис. П.1.4. Функция и плотность экспоненциального распределения

Замечательной особенностью экспоненциального распределения является то, что его коэффициент вариации не зависит от параметра  и всегда равен единице: .

На рис. П.1.4 показаны функция и плотность экспоненциального распределения для трех значений параметра: ; ; .

Числовые характеристики рассмотренных распределений представлены в таблице:

Здесь использованы следующие обозначения:

• – математическое ожидание;

• – второй начальный момент;

• – дисперсия;

• – коэффициент вариации.

В графе «Примечания» указаны значения или диапазон изменения параметров соответствующих распределений.

Приложение 2. Обозначения систем массового обслуживания (символика Кендалла)

Для компактного описания систем массового обслуживания часто используются обозначения, предложенные Д. Кендаллом [5], в виде:

A/B/N/L,

где A и B – задают законы распределения соответственно интервалов времени между моментами поступления заявок в систему и длительности обслуживания заявок в приборе;

N – количество обслуживающих приборов в системе (N = 1, 2, …, ∞);

L – количество мест в накопителе, которое может принимать значения 0, 1, … (отсутствие L означает, что накопитель имеет неограниченную ёмкость).

Для задания законов распределения A и B используются следующие обозначения:

Примеры:

M/M/1 – одноканальная СМО с накопителем неограниченной ёмкости, в которую поступает однородный поток заявок с экспоненциальным распределением интервалов времени между последовательными заявками (простейший поток) и экспоненциальной длительностью обслуживания заявок в приборе.

M/G/3/10 – трехканальная СМО с накопителем ограниченной ёмкости, равной 10, в которую поступает однородный поток заявок с экспоненциальным распределением интервалов времени между последовательными заявками (простейший поток) и длительностью обслуживания заявок, распределенной по закону общего вида.

D/E₂/7/0 – семиканальная СМО без накопителя (ёмкость накопителя равна 0), в которую поступает однородный поток заявок с детерминированными интервалами времени между последовательными заявками (детерминированный поток) и длительностью обслуживания заявок в приборе, распределенной по закону Эрланга 2-го порядка.

Для обозначения более сложных СМО дополнительно могут использоваться обозначения, описывающие неоднородный поток заявок и приоритеты между заявками разных классов.

Приложение 3. Пример описания и расчета замкнутой однородной экспоненциальной СеМо

Рассмотрим замкнутую однородную экспоненциальную СеМО, содержащую одноканальных узла, средние длительности обслуживания заявок в которых соответственно равны: с; с; с; с. Связи между узлами описываются следующей матрицей вероятностей передач:

_.

Система линейных алгебраических уравнений согласно (4.13) имеет вид:

.

Решая полученную систему уравнений с учетом того, что , найдем коэффициенты передач: ; ; ; .

Ниже в таблице представлены значения времени пребывания и числа заявок в узлах сети , а также среднего времени пребывания заявок в сети и производительности , рассчитанные на основе выражений (4.14) – (4.17), для числа циркулирующих в сети заявок . Корректность выполненных расчетов подтверждается тем, что для всех выполняется проверочное условие:

.

Анализ полученных результатов показывает, что все характеристики, включая производительность , растут с увеличением M.

Таблица

Литература

1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Изд. 4 стер. - М.: Высшая школа, 2005. – 343 с.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум. Изд. 3 стер. - М.: Высшая школа, 2005. – 295 с.

3. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. Изд. 3. – М.: СПб.: Питер, 2004. - 847 с.

4. Морозов В. П., Дымарский Я. С. Элементы теории управления ГАП: Математическое обеспечение. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние. 1984.

5. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979. – 600 с.

6. книга по селективной сборке