4.5.2. Расчет коэффициентов передач в узлах замкнутых сетей массового обслуживания

Для замкнутой СеМО на первом этапе рассчитываются только коэффициенты передач. Интенсивности потоков заявок в узлах ЗСеМО не могут быть рассчитаны, как в РСеМО, поскольку для ЗСеМО изначально не известна интенсивность , которая является не параметром, задаваемым в составе исходных данных, а характеристикой, представляющей собой производительность ЗСеМО и определяемой в процессе анализа эффективности функционирования ЗСеМО.

Для расчета коэффициентов передач после некоторых простых преобразований можно воспользоваться той же системой линейных алгебраических уравнений (4.12). Для этого в левой и правой части выражения (4.12) представим интенсивности в виде . Разделив левую и правую часть выражения (4.12) на , окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений относительно :

. (4.13)

Полагая , можно найти корни системы уравнений, численно определяющие значения.

4.5.3. Расчет характеристик замкнутых сетей массового обслуживания

Характеристики ЗСеМО могут быть рассчитаны с использованием марковских процессов, поскольку количество состояний Марковского процесса, в отличие от РСеМО, не бесконечно и равно числу сочетаний , где n – число узлов в ЗСеМО и M – число заявок, циркулирующих в ЗСеМО. При этом основная трудность заключается в определении вероятностей состояний сети в случае большой ее размерности , когда число состояний оказывается значительным. При выполнении расчетов на ЭВМ это, во многих случаях, приводит к потере значимости или к переполнению памяти в процессе промежуточных вычислений и, следовательно, к невозможности получения конечных результатов.

От указанного недостатка свободен метод средних значений, позволяющий вычислять средние характеристики функционирования экспоненциальных СеМО на основе сравнительно простых рекуррентных соотношений.

Положим, что замкнутая однородная СеМО содержит одноканальных узлов, длительности обслуживания заявок в которых распределены по экспоненциальному закону со средними значениями соответственно. Пусть для каждого узла сети известно среднее число попаданий заявки в данный узел за время ее нахождения в сети, т.е. коэффициент передачи , который, если конфигурация сети задана матрицей вероятностей передач , определяется в результате решения системы линейных алгебраических уравнений (4.13).

Обозначим: - среднее время пребывания заявки в узле i за время пребывания в сети; – среднее число заявок в узле ; – производительность замкнутой сети. Очевидно, что эти величины зависят от числа заявок M, циркулирующих в замкнутой сети, т.е. ; ; .

Можно показать, что имеют место следующие соотношения:

; (4.14)

; (4.15)

; (4.16)

, (4.17)

где – среднее время пребывания заявок в сети; .

Выражение (3.14) получено на основе так называемой теоремы о прибытии, утверждающей, что в замкнутой экспоненциальной сети с одноканальными узлами, в которой циркулируют М заявок, стационарная вероятность состояния любого узла в момент поступления в него новой заявки совпадает со стационарной вероятностью того же состояния рассматриваемого узла в сети, в которой циркулирует на одну заявку меньше, т.е. (М-1) заявок. Это означает, что в сети с М заявками среднее число заявок , находящихся в узле i в момент поступления в этот узел новой заявки, равно . Тогда среднее время пребывания в узле i поступившей заявки будет складываться из среднего времени обслуживания всех ранее поступивших и находящихся в узле i заявок и средней длительности обслуживания рассматриваемой заявки:

.

В этом выражении учтено, что среднее время дообслуживания заявки, находящейся в приборе на момент поступления рассматриваемой заявки, равно средней длительности обслуживания в силу свойства отсутствия последействия, присущего экспоненциальному закону. Среднее время пребывания заявки в узле i за время ее нахождения в сети, учитывающее число попаданий заявки в данный узел, равно .

Выражения (4.15) и (4.16) представляют собой формулы Литтла для сети, а выражение (4.17) – для узла i, где – интенсивность потока заявок в узел .

На основе рекуррентных соотношений (4.14) – (4.17) последовательно для , где - заданное число заявок в замкнутой сети, могут быть рассчитаны средние значения характеристик замкнутой экспоненциальной СеМО.

Заметим, что приведенный метод расчета является точным для замкнутых экспоненциальных СеМО с одноканальными узлами.

В прил. 3 приведен пример описания и расчета однородной экспоненциальной СеМО.