4.4.5. Расчет сетевых характеристик рСеМо

Сетевые характеристики, описывающие эффективность функционирования СеМО в целом, рассчитываются на основе полученных значений узловых характеристик.

В состав сетевых характеристик входят:

• среднее число заявок, ожидающих обслуживания в сети, и среднее число заявок, находящихся в сети:

; ,

где l_j - средняя длина очереди и m_j - среднее число заявок в узле j;

• среднее время ожидания и среднее время пребывания заявок в сети:

; ,

где w_j и u_j - соответственно среднее время ожидания и среднее время пребывания заявок в узле j;_j - коэффициент передачи для узла j, показывающий среднее число попаданий заявки в узел j за время ее нахождения в сети.

4.5. Замкнутые экспоненциальные сети массового обслуживания с однородным потоком заявок

Рассмотрим замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания с однородным потоком заявок при следующих предположениях:

1. замкнутая СеМО (ЗСеМО) произвольной топологии содержит n узлов;

2. после завершения обслуживания в каком-либо узле передача заявки в другой узел происходит мгновенно;

3. все узлы замкнутой СеМО одноканальные;

4. в СеМО циркулирует постоянное число заявок;

5. длительности обслуживания заявок во всех узлах сети представляют собой случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону;

6. емкость накопителя заявок в каждом узле СеМО достаточна для хранения всех заявок, циркулирующих в сети, что означает отсутствие отказов поступающим заявкам при их постановке в очередь любого узла (в частности, можно считать, что емкость накопителя в каждом узле равна числу заявок, циркулирующих в сети);

7. обслуживающий прибор любого узла не простаивает, если в его накопителе имеется хотя бы одна заявка, причем после завершения обслуживания очередной заявки мгновенно из накопителя выбирается следующая заявка;

8. в каждом узле сети заявки из накопителя выбираются в соответствии с бесприоритетной дисциплиной обслуживания в порядке поступления (ОПП) по правилу «первым пришел – первым обслужен» (FIFO – First In First Out).

Для описания линейных замкнутых однородных экспоненциальных СеМО необходимо задать такую же совокупность параметров, как и для разомкнутых СеМО, с одним только отличием, заключающимся в том, что вместо интенсивности источника заявок следует задать число заявок, циркулирующих в ЗСеМО. Таким образом, совокупность параметров для замкнутых СеМО будет иметь следующий вид:

• число узлов в сети: n;

• число обслуживающих приборов в узлах сети: K₁,...,K_n;

• матрица вероятностей передач: , где – вероятность передачи заявки из узла i в узел j;

• число заявок M, циркулирующих в ЗСеМО;

• средние длительности обслуживания заявок в узлах сети: .

На основе перечисленных параметров могут быть рассчитаны узловые и сетевые характеристики, описывающие эффективность функционирования соответственно узлов и ЗСеМО в целом.

4.5.1. Режим функционирования замкнутых сетей массового обслуживания

В замкнутых СеМО всегда существует установившийся режим, поскольку в них циркулирует постоянное число заявок и, следовательно, невозможны перегрузки, связанные с неограниченным увеличением числа заявок в узлах СеМО.

Расчет характеристик функционирования линейных замкнутых однородных экспоненциальных СеМО с одноканальными узлами базируется на так называемой «теореме о прибытии» и проводится с использованием метода средних значений в два этапа:

• расчет коэффициентов передач в узлах замкнутой СеМО;

• расчет характеристик ЗСеМО.