4 Билет.
называется
сходящейся, если
– б.м. Число
в этом случае называется пределом
последовательности:
.
Кроме того, предел можно обозначать
так:
ПРИМЕР.
=
Пусть
– б.м. Значит, по определению
сходится к 2:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Число
называется пределом
,
если
Последовательность, имеющая предел,
называется сходящейся.
Интервал
называется
-окрестностью
точки
.
Из определения 2
следует, что
то есть
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.
называется сходящейся, если
такое, что в любой его
-окрестности
содержатся все члены последовательности,
начиная с некоторого.
Очевидно, определения 1, 2, 3 сходящейся последовательности эквивалентны.
( не полностью билет )
5 Билет.
(предел функции
на
по Гейне) Число
называется пределом функции
при
,
если для любой бесконечно большой
последовательности значений ее аргумента
,
все члены которой отрицательны,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится к
.
Обозначение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6
(предел функции на
по Коши). Число
называется пределом функции
при
,
если
Можно доказать, что определения предела по Коши и Гейне эквивалентны.
ПРИМЕР.
Вычислить
.
Рассмотрим функцию
При всех
Выберем произвольную последовательность
Тогда
независимо от вида
.
По определению 1 это означает, что
=6.
6 Билет.-
7 Билет.
Б.м.
в точке
функции эквивалентны, если
.
Эквивалентные
б.м. обозначаются так:
ТЕОРЕМА
(принцип замены эквивалентных бесконечно
малых). Пусть
б.м.
функции в точке
и
Тогда
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Так как
то
Что и требовалось доказать.