9 Билет.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

5.

Доказательство:

а) пусть

б) пусть или , или .

В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае или , то есть .

Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов :

Скалярное произведение
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих векторов:

Таким образом,

10 Билет.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ( перпендикулярен плоскости векторов и ).

2. Направление таково, что тройка – правая.

3. .

Векторное произведение обозначается так: или .

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.

Доказательство:

а) пусть или , или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . Если , то или , то есть .

б) пусть или

2. .

Доказательство: По определению направления векторов и противоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.

3. – свойство линейности векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства).

11 билет.

Смешанным произведением векторов называется число – скалярное произведение на векторное произведение .

Смешанное произведение обозначается так:

12 билет.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, при этом , если – правая тройка, и , если – левая тройка.

.

13 билет.-

15 билет.

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.

Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов

14 билет.-

Аналитическая геометрия.

1 билет.

.

общее уравнение прямой на плоскости

2 билет.

Любой ненулевой вектор , параллельный прямой, называется ее направляющим вектором.

Любой ненулевой вектор , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью.

3 билет.

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

.

4 билет.

Пусть в некоторой пдск задана прямая и точка Найдем расстояние от точки до прямой

y M Р О x Рис. 26

Пусть – проекция точки на (рис. 26), тогда . Нормаль , где – искомое расстояние, а – скалярное произведение.

Следовательно, .

Так как , то . Поэтому

.

Отсюда . (3.8)

(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

ПРИМЕР. Найти длину высоты

Уравнение (3.4): – искомая длина высоты АН.