1 Билет.
Вектором называется упорядоченная пара точек.
2 Билет.
Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.
Векторы
и
называются коллинеарными,
если они лежат на параллельных прямых:
.
Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.
3 Билет.-
4 Билет.-
5 Билет.
ПРИМЕР.
Если
,
то
=(2,3,4)
и наоборот, если
,
то
Так как, с одной
стороны, вектор – объект, имеющий длину
и направление, а с другой, – упорядоченная
тройка чисел, то, зная длину и
направление, можно определить его
координаты и наоборот. Направление
вектора в заданной системе координат
характеризуется его направляющими
косинусами (рис.
11):
.
Пусть
O
X Рис. 11 |
Из этих формул очевидно следует основное свойство направляющих косинусов:
Если
известны длина
|
Z
Y
и направляющие косинусы вектора, то
его координаты вычисляются по формулам:
O y
x Рис. 12 |
Пусть
Тогда
|
z
– произвольный вектор в системе OXYZ,
– радиус-векторы его начала и конца,
,
(рис.12).
(см. свойства
линейных операций над векторами). Таким
образом,
,
то есть для
определения
координат вектора надо из координат
его конца вычесть координаты начала.
6 Билет.-
7 Билет.
основное свойство направляющих косинусов:
8 Билет.
Скалярным
произведением векторов
и
называется скаляр
(число),
равный
.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1.
– очевидно из определения.
2.
Доказательство:
3.
Доказательство:
а)
– очевидно.
б)
в)
В этом случае
|
|
4.
.
Отсюда следует,
что
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
5.
Доказательство:
а) пусть
б) пусть
или
,
или
.
В первом и втором
случаях один из сомножителей – нулевой
вектор. Его направление не определено,
поэтому можно считать, что
.
В третьем случае
или
,
то есть
.