3 Билет.
Рассмотрим
квадратную матрицу второго порядка:
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так:
(1.1)
Такой определитель называется определителем второго порядка и может
обозначаться
по-другому:
или
.
Определителем
третьего порядка
называется число, соответствующее
квадратной матрице
,
которое вычисляется по правилу:
(1.2)
Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так:
ПРИМЕР.
;
Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать:
Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных.
Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что
(1.3)
То есть при
вычислении определителя третьего
порядка используются определители
второго порядка, причем
– определитель матрицы, полученный из
вычеркиванием элемента
(точнее, первой строки и первого столбца,
на пересечении которых стоит
),
– вычеркиванием элемента
,
– элемента
.
4 Билет.
-
5 Билет.
1.ВОПРОС. Рангом
матрицы А называется такое целое число
,
что среди ее миноров
-го
порядка есть хотя бы один ненулевой, а
все миноры порядка (
)
равны нулю.
2 ВОПРОС. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны нулю, то есть если матрица нулевая.
ПРИМЕР.
Матрица
,
очевидно, имеет ненулевой минор второго
порядка, например,
,
но все ее миноры третьего порядка – их
всего 16 – равны нулю, поэтому
Для того чтобы обнаружить этот факт без
трудоемких вычислений, введем понятие
элементарных преобразований.
6 Билет.
1 ВОПРОС. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия:
1) умножение любой
строки на число
;
2) перемена местами двух строк;
3) прибавление ко всем элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число ;
4) отбрасывание нулевой строки;
5) отбрасывание одной из двух пропорциональных строк;
6) те же преобразования со столбцами.
2 ВОПРОС. ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. С их помощью всякую матрицу можно привести к диагональному виду, и ее ранг равен количеству ненулевых элементов на главной диагонали (без доказательства).
Покажем теперь, что ранг матрицы F из последнего примера равен 2.
.
При переходе от
к
и
использовались элементарные преобразования
3), 5), 6): первую строку
прибавили
ко второй и четвертой, затем отбросили
две из трех пропорциональных строк;
далее первый столбец
прибавили ко второму и четвертому с
коэффициентами 2 и (-4) соответственно и
два из трех пропорциональных столбцов
отбросили. По теореме
.
Вычислить
,
очевидно, можно было, получив лишь
матрицу
,
не выполняя дальнейших преобразований.