1. Производная функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Геометрический смысл производной функции.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Дифференцирования суммы:

Дифференцирования разности:

Дифференцирования произведения (правило Лейбница):

Дифференцирования частного:

у

f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. ,

где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

2. Дифференциал функции, его свойства.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или

dy = f(x)dx.

Можно также записать:

Дифференциал функции f – это линейная функция y=f’(x0)*(x-x0) в точке x0 и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть dx=x-x0 Поэтому пишут: df=f’(x)dx

Дифференциал в математике — линейная часть приращения функции или отображения.

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: f’(x)=df/dx

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Свойства

1) d(u ± v) = (u ± v)dx = udx ± vdx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

3. Дифференцирование элементарных функций. Табличные производные.

Дифференцирование элементарных функций

1. (X+Y) ’=X’+Y’

2. (X-Y) ’=X’-Y’

3. (C*X) ’=C*X’, Где С это постоянная

4. (X*Y) ’=X’Y+XY’

5. (X/Y) ’=( X’Y-XY’)/(Y*2)

6. (F(K*X+B)) ’=KF’*(KX+B) ’

7. (F(g(X)) ’=F’(g(X))*g’ (x)

Табличные производные

1. C’=0, где С постоянная

2. (Xⁿ) ’=n*x^n-1

3. =

4. (e^x)’=e^x

5. (A^x)’=A^x*ln g

6. (Ln x)’=

7. (sin x)’= cos x

8. (Cos x)’= - sin x

9. (Tg x)’=

10. (Ctg x)’ = -

11. (Arcsin x) ’=

12. (Arcos x) ’= -

13. (Arctg x) ’=

14) (Arcctg x) ’= -