Тест рубежного контроля №1

Тест содержит 4 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Чем вызваны аномалии движения планеты Уран?

1) Действием притяжения другой планеты.

2) Существованием во Вселенной темной массы и темной энергии.

3) Несовершенством закона всемирного тяготения Ньютона.

2. Что такое нормальные моды?

1) Моды, приведенные к общей норме.

2) Частные решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3) особые решения задачи Ферми-Пасты-Улама.

3. Чем отличаются друг от друга модели ФПУ- и ФПУ-

1) Эти модели используются для описания - и -излучения при радиоактивном распаде ядер.

2) Отличаются знаком в законе Гука.

3) Отличаются характером нелинейности выражения для упругой силы.

4. В чем заключается неожиданность результатов численного исследования задачи Ферми-Пасты-Улама?

1) В ошибочности программы решения этой задачи на машине MANIAC.

2) В отсутствии стремления системы к равнораспределению энергии между всеми степенями свободы.

3) В появлении солитона Кортевега-де-Фриза на машине MANIAC, невоспроизводимого на других компьютерах.

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)
3)
4)

Критерий оценки

Число правильных ответов ------ 4 3 2 1 0

Оценка--------------------------------- 5 4 3 2 2

Модуль 2. Простейшие дифференциальные уравнения

Комплексная цель: Основная цель – ознакомить студентов с понятием дифференциальных уравнений и с простейшими их примерами.

Краткое изложение программного материала: Даются определения дифференциального уравнения, общего и частного решения таких уравнений. Рассматриваются дифференциальных уравнений для описания движения с постоянной силой, колебаний грузика на пружинке и математического маятника, а также уравнения движения планеты вокруг Солнца.

Содержание модуля 2

В физике наиболее часто математические модели описываются некоторыми дифференциальными уравнениями и их системами (разумеется, в дополнение к ним, в модель могу входить и уравнения других типов). В настоящем пособии мы будем иметь дело только с обыкновенными дифференциальными уравнениями (в отличие от уравнений в частных производных). В физике они встречаются буквально на каждом шагу. Например, в механике, как только мы используем хорошо известный второй закон Ньютона ( ), мы имеем дело с обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) второго порядка.

Иссаку Ньютону принадлежит огромное число фундаментальных научных результатов. В те времена, недостаточно проверенные открытия, было модно в целях закрепления приоритета, публиковать в виде некоторых анаграмм (в формуле открытия переставляются буквы способом, известным лишь его автору). Заметим, что многие ученые увлекались расшифровками (обычно неудачными) чужих анаграмм. В их числе был и Иоганн Кеплер.

Из всех своих открытий И. Ньютон опубликовал в виде анаграммы только одно. В переводе на современный язык, оно звучит следующим образом: «Полезно решать дифференциальные уравнения».¹³

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и некоторое число ее производных. Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которого в уравнение, оно обращает в тождество.

Таким образом, в отличие от алгебраического уравнения, где неизвестными являются его корни (т.е. некоторая совокупность чисел), в дифференциальном уравнении неизвестной является функция. Например, уравнение математического маятника, которое описывает изменение со временем отклонения его подвеса от вертикального положения (вывод этого уравнения см. далее), имеет вид

. (3)

Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестного .

Порядком ОДУ называется порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в рассматриваемое уравнение.

В дифференциальное уравнение могут входить несколько разных производных. Например, при учете влияния сопротивления воздуха или жидкости, уравнение, описывающие колебания физического маятника имеет вид

. (4)

В отличие от уравнения (3), в этом уравнении появился член , пропорциональный угловой скорости движения.

Проиллюстрируем появление ОДУ при решении простейших задач механики.