федеральное государственное образовательное

учреждение Высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Г. М. Чечин

«Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в курсе «Компьютерные методы в современном естествознании»»

(учебное пособие)

Ростов-на-Дону

2008 г.

Рецензенты:

Д.ф.-м.н., профессор кафедры физики Ростовского государственного университета путей сообщения А. Г. Кочур

Д.ф.-м.н., заведующий отделом кристаллофизики НИИ физики ЮФУ, профессор В. П. Сахненко

Чечин Г.М. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в курсе «Компьютерные методы в современном естествознании»: Учебное пособие.  Ростов-на-Дону, 2008.  137 с.

Данное учебное пособие предназначено для студентов второго курса физического факультета, изучающих предмет «Компьютерные методы в современном естествознании». Отдельные его разделы могут быть использованы при изучении вычислительной физики на старших курсах. В первой части пособия рассматриваются понятия математической модели и вычислительного эксперимента, основные элементы теории дифференциальных уравнений и численных методов их решения. Подробно обсуждается задача о зависимости периода колебаний математического маятника от его амплитуды. Вторая часть пособия представляет собой эвристическую беседу между Преподавателем и Студентом, посвящённую различным аспектам динамики N тел под действием сил гравитации, и предполагает выполнение студентом серии компьютерных экспериментов. Обсуждаются законы Кеплера, проблема трёх тел, явление детерминированного хаоса, простые хореографии. Эта часть может быть использована для целей проблемного обучения и развития творческих способностей студентов.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................................4

Часть 1. Введение в вычислительную физику...........................................................6

МОДУЛЬ 1. Понятие о вычислительной физике......................................................6

1.1. Некоторые исторические замечания................................................................6

1.1.1. История открытия Нептуна.....................................................................7

1.1.2. Проблема Ферми-Пасты-Улама и открытие солитонов.......................8

1.1.3. Эвристическая роль вычислительного эксперимента........................15

1.2. Математическая модель.................................................................................16

Тест рубежного контроля №1................................................................................22

Бланк ответов..........................................................................................................23

МОДУЛЬ 2. Простейшие дифференциальные уравнения.....................................24

2.1. Движение тела под действием постоянной силы..................................26

2.2. Уравнение гармонического осциллятора...............................................27

2.3. Математический маятник........................................................................32

2.4. Движение планет вокруг Солнца............................................................37

Проектное задание...............................................................................................39

Тест рубежного контроля №2.............................................................................40

Бланк ответов........................................................................................................41

МОДУЛЬ 3. Понятие о численных методах решения обыкновенных

дифференциальных уравнений..............................................................................42

3.1. Метод Эйлера............................................................................................42

3.2. О решении ОДУ высших степеней и их систем....................................47

3.3. Недостатки метода Эйлера......................................................................49

3.4. Четырёхточечный метод Рунге-Кутты...................................................52

3.5. Вычислительный эксперимент...............................................................57

Проектное задание...............................................................................................59

Тест рубежного контроля №3.............................................................................60

Бланк ответов.......................................................................................................61

МОДУЛЬ 4. Исследование периода колебаний математического маятника...62

4.1. Постановка задачи..................................................................................62

4.2. Обезразмеривание задачи......................................................................64

4.3. Постановка прямого вычислительного эксперимента........................66

4.4. Нахождение аналитической зависимости .....................76

Проектное задание.............................................................................................82

Тест рубежного контроля №4...........................................................................83

Бланк ответов....................................................................................................84