2.4. Задания с-2

Для представленных на схемах 1 – 30 тел определить реакции опор. Приведенные на схемах нагрузки имеют следующие величины: вес груза G = 10 кН, F = 10 кН, момент пары сил М = 20 кНм, интенсивность распреде­ленной силы q = 5 кН/м, а также q_тах = 5 кН/м. Размеры указаны в метрах. Весом тела следует пренебречь.

2.5. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)

1. Что такое произвольная плоская система сил?

2. Что называется моментом силы?

3. Как вычисляется момент силы относительно точки на плос­кости?

4. Что называется парой сил?

5. Какими свойствами обладают пары сил?

6. Каково число независимых уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил?

7. По какому правилу определяется направление реакций связей?

C-3. Определение реакций опор плоской составной

Конструкции

3.1. Цель: отработка навыков решения задач на равновесие cоставной конструкции при действии плоской произвольной системы сил

3.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Составная конструкция, состоящая из двух тел, соединенных шар­ниром содержит четыре неизвестные реакции опор. Так как для одного тела под действием плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия, то для определения реакций необходимо рассматривать равновесие каждой части состав­ной конструкции в отдельности. Решать задачи можно двумя способами.

1-й способ.

1. Разбить систему на два тела по сочленяющему шарниру. В месте разбиения приложить реакции отброшенной части. Внешние связи заменить их реакциями.

2. Для каждого тела, образованного при разбиении, составить по три уравнения равновесия.

3. Решить систему шести уравнений. Определить реакции опор.

4. Сделать проверку решения, составить уравнения равновесия целой (нерасчлененной) системы.

2-й способ.

1. Разбиваем систему на два тела по сочленяющему шарниру. В месте разбиения прикладываем реакции отброшенной части. Внешние связи заменяем их реакциями.

2. Для каждого тела, образованного при разбиении, составляем уравнения моментов относительно точки сочленения. Полученные уравнения дополняем двумя уравнениями равновесия для всей конструкции в целом.

3. Решаем систему четырех уравнений. Определяем реакции опор.

4. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия це­лой (нерасчлененной) системы.

3.3. Примеры решения задач

Задача 3.3.1. Конструкция состоит из двух невесомых балок, шарнирно соединенных в точке С (рис. 3.1). Балка АС опирает­ся в точке В на шарнирно-неподвижную опору и удержи­вается на левом конце стержнем. Балка CD опи­рается правым концом на абсолютно гладкую плоскость, составляющую угол α = 60° с горизонтом. На систему дей­ствует пара сил с моментом М = 20 кНм и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q = 2 кН/м. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Геометрические размеры даны в метрах.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Решение. Если рассмотреть равновесие всей кон­струкции в целом, освободиться от связей и ввести реак­ции, учитывая, что реакция стержня направлена по стержню, реакция шарнирно-неподвижной опоры имеет неизвестное направление и ее следует разложить на составляющие по осям, а реакция при опирании тела на абсолютно гладкую плоскость пер­пендикулярна этой плоскости (нормальная реакция), то расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 3.2.

Здесь распределенная нагрузка заменена сосредоточен­ной силой

.

Система сил на схеме имеет четыре неизвестных, сле­довательно, они не могут быть определены из трех уравне­ний для плоской системы сил.

Рис. 3.3

Для решения задачи расчленим конструкцию на отдель­ные тела, мысленно разделив ее по шарниру, через который передается усилие неизвестного направления (рис. 3.3).

При направлении составляющих Х_C и Y_C для левой и правой балок учтена аксиома равенства действия и противодействия. Введенные силы:

.

Уравнения для правой части:

_{∑Xi = 0: - XC – RD sinα = 0;}

_{∑Yi = 0: - YC – Q2 + RD cosα = 0;}

_{∑MDi = 0: YC ∙ 4 + Q2 ∙ 2 = 0;}

Отсюда

Y_C = – 4 кН; R_D = 8 кН; X_C = – 4 кН.

Уравнения для левой части:

∑X_i = 0: X_B + X_C = 0;

_{∑Yi = 0: RA + YB – Q + YC = 0;}

_{∑MBi = 0: - RA ∙ 5 – M – Q1 ∙ 1 + YC ∙ 2 = 0;}

Отсюда

Х_B = 4 кН; R_A = – 6,4 кН; Y_B = 14,4 кН.

Для проверки правильности полученного решения мож­но составить уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 3.2):

Задача 3.3.2. Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С. Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную опору (рис. 3.4). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максималь­ной интенсивностью q_тах = 2 кН/м, сила F = 4 кН под углом α = 30^o и пара сил с моментом М = 3 кНм. Геомет­рические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, пе­редаваемое через шарнир. Вес элемен­тов конструкции не учитывать.

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Решение. Если рассмотреть рав­новесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состо­ит из силы неизвестного направления и пары, а реакция опоры перпендикулярна опорной поверхно­сти, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 3.5.

Здесь равнодействующая распреде­ленной нагрузки

расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD) от точки А; М_А — неизвестный момент заделки.

В данной системе сил четыре неизвестных реакции (Х_А, Y_A, M_A, R_B), и их нельзя определить из трех уравне­ний плоской системы сил.

Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учи­тывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС:

Отсюда Х_С = – 1 кН; У_С = 0; R_B = 1 кН.

Уравнения для тела АС:

Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разло­жена на составляющие Fcos α и Fsin α и определена сум­ма их моментов.

Из последней системы уравнений находим:

Х_А = – 1,54 кН; У_А = 2 кН; М_А = – 10,8 кНм.

Для проверки полученного решения можно составить суммы проекций и моментов сил для всей конструкции (рис.3.5):