13.4. Задания

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, f_к — коэффициент трения качения.

13.5. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)

1. Что называется связью?

2. Что называется возможным перемещением материальной точки?

3. Что называют возможными перемещениями механической системы?

4. Какие связи называются идеальными?

5. Что называется обобщенными координатами механической системы?

6 Сформулируйте принцип возможных перемещений.

7. В каких формах можно записывать уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений?

8.Какой вид имеет общее уравнение динамики?

9. Каковы особенности применения общего уравнения динамики к исследованию движения механических систем с одной степенью свободы?

Д–14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода

14.1. Цель: освоить один из основных методов составления дифференциальных уравнений движения механических систем - метод уравнений Лагранжа второго рода.

14.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Дифференциальные уравнения движения голономной механи­ческой системы в обобщенных координатах, или уравнения Ла­гранжа второго рода, имеют вид:

(14.1)

где Т- кинетическая энергия системы; - обобщенные координаты; - обобщенные скорости; - обобщенные силы; s - число степе­ней свободы системы.

При составлении уравнений Лагранжа второго рода обычно ис­пользуются различные способы вычисления обобщенных сил.

Первый способ основан на определении обобщенной силы как ко­эффициента при вариации , соответствующей обобщенной коор­динаты в выражении возможной работы активных сил системы:

.

Для вычисления обобщенной силы , системе сообщается возмож­ное перемещение ,..., , ,…, , ..., , на котором изменяется только обобщенная координата при неизменных других координатах и определяется возможная работа активных сил на этом перемещении:

,

откуда

.

Второй способ пригоден в случае, если система находится в потенциальном поле сил:

,

причем, потенциальная энергия системы должна быть выражена как функция обобщенных координат.

Основное назначение уравнений Лагранжа второго рода - со­ставление дифференциальных уравнений движения механической системы, подчиненной идеальным удерживающим голономным свя­зям. Если среди связей, наложенных на систему, имеются неидеаль­ные, то реакции этих связей следует ввести в число активных сил.

Составление дифференциальных уравнений движения с помо­щью уравнений Лагранжа второго рода рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты.

2. Записать уравнения Лагранжа (14.1) с учетом выбранных обобщенных координат.

3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.

4. Найти производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.

5. Найти обобщенные силы.

6. Подставить результаты, полученные в п. 4 и 5, в уравнения п.2. Если в задаче требуется найти уравнения движения системы, то следует проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений движения, определив постоянные интегрирования по на­чальным условиям.