2.3. Примеры решения задач
Задача 2.3.1. Определить реакции RA и RB опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.2.5, а.
Рис. 2.5
Решение.
1.
Составление
расчетной схемы.
Объект равновесия – балка
АС.
Задаваемые силы: F
= 3
кH,
пара сил с M
= 4
кH∙м,
распределенная
нагрузка
с интенсивностью q
= 1
кН/м,
которую
заменяем
одной сосредоточенной
силой
Rq
=
q∙1=1∙3
= 3
кH,
приложенной к точке D
на расстоянии 1,5
м
от
края консоли. Применяя принцип
освобождаемости от связей, изобразим
в точках А
и В
реакции. На балку действует плоская
произвольная
система сил, в которой три неизвестных
реакции
и
.
Ось
х
направим
вдоль горизонтальной оси балки вправо,
а ось у
-вертикально
вверх.
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия:
,
(1)
,
(2)
.
(3)
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции
из (1):
кН,
из
(3):
,
из
(2):
кН.
Величина реакции RAх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рис. 2.5, а в противоположную сторону.
Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.
.
Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:
- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.
Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.
Задача 2.3.2. На балку с защемленным концом (рис. 2.6, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.
а) б)
Рис. 2.6
Решение.
1.
Составление расчетной схемы (рис. 2.6,
б). Объектом равновесия
является балка АВ.
К
ней приложены задаваемые силы
,
пара
сил с моментом
и
распределенная
по линейному закону нагрузка.
Равнодействующая
приложена
в точке О,
Связью,
наложенной на балку АВ,
является
жесткая заделка А.
Применяя
принцип освобождаемости от связей к
балке АВ,
заменим
действие
этой заделки на балку силами реакций
и
реактивным
моментом
.
Рассмотрим
теперь равновесие балки АВ
как
свободного твердого тела, на которое
действуют, кроме задаваемых сил,
еще и реакции связи.
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:
;
(а)
;
(б)
.
(в)
Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Из уравнения (а) находим:
.
Из уравнения (б) получаем:
.
Наконец, из уравнения (в) находим:
Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:
.
Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.