11.4.Задания д – 11

Механизм, состоящий из груза A, блока B (больший радиус R, меньший r) и цилиндра радиуса R_C, установлен на призме D, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз A получает перемещение S = 1 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево или (в тех вариантах, где он висит) по вертикали вниз. Куда и на какое расстояние переместится призма?

11.5. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)

1.Запи­шите формулы для координат центра масс.

2. Сформулируйте теорему о движении центра масс механиче­ской системы.

3. При каком условии проекция скорости центра масс на некоторую ось не изменяется при движении системы?

4. При каких условиях центр масс не перемещается вдоль дан­ной оси?

5. Как определяется количество движения материальной точки и механической системы?

6. Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

7. Сформулируйте теорему об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах.

8. Запишите теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.

9. Запишите теорему об изменении количества движения в интегральной форме в проекциях на координатные оси.

10. При каком условии количество движения механической системы сохраняется?

11. При каком условии сохраняется проекция на данную ось количества движения механической системы?

Д–12. Определение динамических характеристик

Движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии

12.1. Цели:

1. Выяснить область применения теоремы об изменении кине­тической энергии при исследовании динамического поведения механических систем.

2. Научиться вычислять кинетическую энергию твердого тела в различных случаях его движения и системы, состоящей из твердых тел.

3. Освоить методику применения теоремы об изменении кинетической энергии для определения динамических характеристик движения механической системы.

12.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Элементарной работой силы называется мера действия силы, равная скалярному произведению силы на элементарное перемеще­ние точки её приложения (дифференциал радиус-вектора)

или

.

Элементарная работа силы является алгебраической величиной:

1) d'A>0, если угол между силой и перемещением меньше 90°;

2) d'A<0, если угол между силой и перемещением больше 90°;

3) d'A=0, если сила и перемещение точки ее приложения пер­пендикулярны.

При задании движения точки в прямоугольных декартовых ко­ординатах для вычисления элементарной работы силы используется формула

,

а при задании движения точки естественным способом - зависи­мость

,

где - проекция силы на касательную к траектории точки; s - ду­говая координата.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси элемен­тарная работа сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

,

где М_z - сумма моментов сил относительно оси вращения z; - угол поворота.

Работой силы на конечном перемещении называется вели­чина, равная криволинейному интегралу от элементарной работы, взятому вдоль дуги М_OМ, описанной точкой приложения силы при этом перемещении

.

При задании движения точки в прямоугольных декартовых координатах работа силы вычисляется по формуле

,

при задании движения точки естественным способом -

,

где s₀, s - значения дуговой координаты точки приложения силы в начальном и конечном ее положениях.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

,

где М_z - сумма моментов сил относительно оси вращения z, а φ₀ и φ - значения угла поворота в начальном и конечном положениях тела.

Мощностью силы называется физическая величина, равная отношению произведённой рабо­ты к промежутку времени её совершения, т.е.

,

где d'A - элементарная работа силы за элементарный промежуток времени dt.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси мощность сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

,

где M_z - сумма моментов сил относительно оси вращения z; = проекция угловой скорости тела на ось вращения.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы на квад­рат ее скорости, т.е.

.

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех материальных точек, входящих в состав системы

,

где m_k - масса, a v_k - скорость точки M_k (k - 1, 2, ..., п).

Кинетическую энергию механической системы можно предста­вить в виде

, (12.1)

где М - масса системы; v_c - скорость центра масс; T’ - кинетическая энергия системы в ее движении относительно осей неизменного на­правления с началом в центре масс.

Соотношение (12.1) выражает теорему Кенига. Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении.

1. Поступательное движение

.

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение

,

где — момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы имеет две формы: дифференциальную и конечную (инте­гральную).

Дифференциальная форма теоремы имеет вид

, (12.2)

производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.

Соотношение (12.2) можно записать в виде

, (12.3)

дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.

Теорема об изменении кинетической энергии в конечной форме имеет вид

. (12.4)

Изменение кинетической энергии на конечном перемещении системы из положения, в кото­ром кинетическая энергия равна Т_о, в положение, в котором кинети­ческая энергия равна Т, равно сумме работ всех внешних и внутрен­них сил системы на этом перемещении.

Практическое применение соотношений при решении задач ос­ложняется наличием в их правых частях членов, связанных с внут­ренними силами, которые, как правило, заранее неизвестны. Однако существует широкий класс систем, для которых упомянутые члены можно опустить: это системы, состоящие из совокупности абсолют­но твердых тел, скрепленных между собой идеальными связями (шарниры без трения, нерастяжимые и абсолютно гибкие нити и т.д). Для таких систем (их называют неизменяемыми)

,

и соотношения (12.2)—(12.4) записываются в виде

,

,

.

Рассмотрим порядок составления дифференциального уравне­ния движения системы с одной степенью свободы с помощью тео­ремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы.

2. Выбрать координату, относительно которой будет состав­ляться дифференциальное уравнение движения: это, как правило, либо линейная величина (назовем ее для конкретности х), опреде­ляющая положение тела, движущегося поступательно, либо угловая величина (назовем ее , определяющая положение тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси.

3. Записать теорему об изменении кинетической энергии.

4. Вычислить кинетическую энергию системы как сумму кине­тических энергий тел, входящих в ее состав. На расчетной схеме показать все кинематические характеристики, от которых зависит ки­нетическая энергия системы.

5. Представить кинетическую энергию системы в виде , если за координату принята линейная величина, или в виде , если за координату принята угловая величина. Для этого скорости, входящие в выражение кинетической энергии системы, следует выразить либо через , либо через . Величины и называют соответственно приведенной массой и приведен­ным моментом инерции системы.

6. Вычислить производную по времени от кинетической энергии.

7. Изобразить на расчетной схеме внешние силы, действующие на систему. Вычислить сумму мощностей внешних сил.

8. Представить сумму мощностей внешних сил в виде , если за координату принята линейная величина, или в виде , если за координату принята угловая величина.

9. Сформировать дифференциальное уравнение движения. Для этого следует, согласно п. 3, приравнять правые части выражений, полученных в п. 6 и 8, и провести сокращение на производную по времени от координаты, присутствующую в качестве множителя в обеих частях уравнения.

Если решается вторая задача динамики, т.е. определяется за­кон движения системы, то далее следует выполнить следующие действия:

10. Сформулировать начальные условия движения системы.

11. Построить общее решение дифференциального уравнения движения.

12. Определить по начальным условиям постоянные интегриро­вания.

13. Подставив значения постоянных интегрирования в общее решение дифференциального уравнения, найти закон движения системы.

Б. Конечная форма теоремы

Рассмотрим порядок решения задачи, предполагая, что система приходит в движение из состояния покоя:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы.

2. Выбрать координату, с помощью которой будет определяться положение системы, связав выбор с целью задачи: если, например, определяется зависимость скорости тела, совершающего прямоли­нейное поступательное движение, то в качестве координаты прини­мается перемещение тела; если же определяется зависимость угло­вой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной, то в качест­ве координаты принимается угол поворота тела. Координаты следует отсчитывать от начального положения.

3. Записать теорему об изменении кинетической энергии в конечной фор­ме, положив Т₀ =0.

4. Изобразить на рисунке систему в конечном положении. Вы­числить кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав. На расчет­ной схеме показать все кинематические характеристики, от которых зависит кинетическая энергия системы.

5. Представить кинетическую энергию системы в виде , если определяется зависимость v=v(x), или в виде , если определяется зависимость . Для этого ско­рости, входящие в выражение кинетической энергии системы, сле­дует выразить либо через v, либо через .

6. Изобразить на расчетной схеме внешние силы, действующие на систему; вычислить сумму работ внешних сил, представив ее либо в виде , либо в виде .

7. Приравняв, согласно п. 3, правые части выражений, получен­ных в п. 5 и 6, определить из полученного соотношения искомую зависимость.