9.3. Примеры решения задач

Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как x_D = t³ + t², м (рис. 9.1).

По желобу ОА, который представляет собой дугу ок­ружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги |ОМ| = s = 5πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение . Согласно тео­реме о сложении скоростей, абсо­лютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраиче­ское значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1с по­лучаем .

Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.

Вычисляя длину дуги |OM|_t=1c= 5π м, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис.9.2).

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положи­тельно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:

,

и при t=1 с получаем =5 м/с. Направлена она по оси х, так как v_ex > 0.

Складывать векторы и удобнее всего с помо­щью проекций. Проецируя равенство на оси (рис. 9.2), получаем

и окончательно

.

2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсо­лютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.

В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ω_е = 0.

Относительное ускорение в общем случае будет скла­дываться из вращательного и центростремительного: .

Вращательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорос­ти: м/с и .

Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).

Центростремительное относительное ускоре­ние находим через скорость и ра­диус кривизны траектории:

.

Оно направлено к центру окружно­сти желоба (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость

,

и при t = 1 с имеем а_е = 8 м/с². Это ускорение совпадает по направлению с . Проецируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:

И окончательно:

Задача 9.3.2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 9.4) во­круг оси Ох так, что его угол поворота равен

рад.

Рис. 9.4 Рис. 9.5

По желобу тела ОА движется точка М так, что алгеб­раическое значение длины дуги равно

ОМ =s = (25πt² – 5πt) см.

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние |OA| = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускоре­ние точки М.

Решение.