6.5. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)

1. Что изучает кинематика?

2. Какие задачи решает кинематика?

3. Что называется траекторией точки?

4. Какие существуют способы задания движения точки?

5. Как определить траекторию при векторном способе задания движения точки?

6. В чем заключается естественный способ задания движения?

7. В чем заключается координатный способ задания движения?

8. Как определить траекторию при координатном способе зада­ния движения точки?

9. Как определить скорость точки при разных способах задания движения?

10. Как определить ускорение при векторном способе задания движения?

11. Как определить ускорение при координатном способе зада­ния движения?

12. Как определить ускорение при естественном способе задания движения?

13. Что характеризует касательное ускорение?

14. Что характеризует нормальное ускорение?

15. Какие ускорения имеет точка, двигаясь равномерно по кри­волинейной траектории?

16. Какие ускорения имеет точка при неравномерном и прямо­линейном движении?

17. Какие ускорения имеет точка при криволинейном и нерав­номерном движении?

К–7. Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела

7.1. Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела.

7.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого те­ла, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Точки твердого тела, совершающего поступательное движе­ние, перемещаются как по прямолинейным, так и по криволи­нейным траекториям.

Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются теоремой: при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент вре­мени имеют одинаковые по величине и направлению скоро­сти и ускорения.

Поступательное движение твердого тела характеризуется заданием дви­жения одной его точки, обычно цен­тра масс, и может быть задано лю­бым из изученных способов. Для за­дания поступательного движения тела в декартовой системе координат дос­таточно записать: . Эти выражения будут зако­ном поступательного движения.

Скорость и ускоре­ние твердого тела на­ходят по формулам, применяемым в кине­матике точки.

Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела.

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоско­стях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени, т. е. является функцией времени t:

.

Это yравнение называется уравнением вращательного движения тела.

Если известно число оборотов N за какой-то промежуток времени, то угол поворота равен:

,

где N — число оборотов, совершаемое вращающимся телом за определенный промежуток времени.

Величина, характеризующая быстро­ту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела .

,

или

,

где n — число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу вре­мени (об./мин).

Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

.

Уравнение равнопеременного вращения тела имеет вид:

,

а уравнение угловой скорости определяется по зависимости:

,

где , — начальный угол поворота и начальная угловая скорость.

Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произве­дению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела.

.

Ускорение точки М определим по его составляющим: касательному ускорению, направленному по касательной к окружности, и нормальному ускорению, направленному к центру С. Эти ускорения точек вращающегося тела называют вращательным и центростремительным ускорениями и обозначают и _.

Модуль вращательного ускорения точки твердого тела равен произ­ведению расстояния от точки до оси вращения на модуль углового ускорения тела.

,

Модуль центростремительного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угло­вой скорости

.

Модуль полного ускорения точки

Тангенс угла β составленного уско­рением с радиусом окружности

.

При решении задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси рекомендуется придерживаться такой последовательности действий.

Первый тип задач – дано уравнение вращения твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение твердого тела:

выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (для определенности ось z) совпадала с осью вращения;

составляем уравнение вращения твердого тела (зависимость угла поворота от времени);

дифференцируя по времени угол поворота, определяем проекцию угловой скорости на ось вращения;

вычисляя вторую производную от угла поворота по времени, находим проекцию углового ускорения на ось вращения;

пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем линейную скорость точки и ее центростремительное ускорение;

пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось вращения, определяем вращательное ускорение точки;

по найденным центростремительному и вращательному ускорениям находим полное ускорение точек по величине и направлению.

Второй тип задач– задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение вращения, скорость и ускорение точки твердого тела:

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию углового ускорения на ось вращения, находим проекцию угловой скорости;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось вращения, находим уравнение вращения твердого тела;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

пользуясь выражением проекции скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и центростремительного ускорения точки;

определяем величину вращательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки.