2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:
;
(а)
;
(б)
.
(в)
Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Из уравнения (а) находим:
.
Из уравнения (б) получаем:
.
Наконец, из уравнения (в) находим:
Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:
.
Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.
Определение реакций опор вала при действии пространственной произвольной системы сил
Задача 3. Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 5.2.4). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.
Рис. 5.2.4
На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Тг = 30 Н, Т2 = 57 Н. Груз Q = 18 Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Рг = 35 Н, Р2 = 10 Н, Р3 = 15 Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R1= 26 см, R2 = 10 см, R3 = 11 см и расстояния между характерными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.
Рис. 5.2.5
Решение
1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями ZA, ХА и ZB, ХВ (рис. 5.2.5). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.
2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала:
.
Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.
Из полученного уравнения находим
По условию N = F/0,1 = 27,692 Н.
3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рис. 5.2.6). Таким образом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.
Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрицательным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рис. 5.2.9), относительно любой ее точки равны нулю.
Рис. 5.2.6
Решая уравнения
находим ZA = –11,324 H, ZB = 75,574 H.
4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рис. 5.2.6):
5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 5.2.7):
Решая уравнения, находим ХА = 25,100 Н, ХВ = –124,792 Н.
6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:
Рис. 5.2.7
Результаты расчетов в Н заносим в таблицу:
N |
XA |
ZA |
XB |
ZB |
27,692 |
25,100 |
-11,324 |
-124,792 |
75,574 |