6Охарактеризувати сполуки з повтореням

Перестановкою з повтореннями з елементів по

називається впорядкована множина, яка складається з елементів першого

типу, елементів другого типу, ... , елементів -го типу

. Кількість все можливих перестановок з повтореннями

шукаємо за формулою

Розміщенням з повтореннями з по називається довільна

впорядкована k -елементна множина, елементи якої відносяться до одного з n

типів (тобто елементи можуть повторюватись, але максимальна кількість

різних елементів дорівнює ). Кількість всеможливих розміщень з

Комбінацією з повторенням з n по k називається довільна k -

елементна множина, елементи якої відносяться до одного з n типів (тобто

елементи можуть повторюватись, але максимальна кількість різних елементів

дорівнює n ). Кількість комбінацій з повтореннями з n по k позначається

7Охарактеризувати простір елементарних подій

Простір елементарних подій — множина всіх можливих наслідків стохастичного експерименту. Тобто, множина елементарних подій. Зазвичай позначаєтеся літерою Ω, також S або U.

В аксіоматичному підході Колмогорова простір елементарних подій є базою ймовірнісного простору. Від природи простору елементарних подій залежить якими будуть випадкові величини на цьому просторі (неперервними чи дискретними).

Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина Ω скінченна або зліченна.

Приклад

Припустимо, що монету підкидають один раз. Простір елементарних подій, цього експерименту має вигляд Ω = {Г, Р}, де Г означає появу герба, буква Р — появу решки. Монету підкидають двічі. Простором елементарних подій цього експерименту є множина Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}. Тут ГР означає, наприклад, що при першому підкиданні з'явився герб, а при другому — решка.

Підкидають шестигранний гральний кубик на якому вибиті очки від 1 до 6. Нас цікавить число очок, яке випало. Простором елементарних подій тут може бути Ω = {1,2,3,4,5,6}.

8.Охарактеризувати операції над подіями.

Більш складні випадкові події можна представити, як набір декількох більш про-стих. Наприклад, випадіння парного числа очок на гральній кості (подія А) може бути представлено,якнабірподій^і; А ,А , де А. - випадання двох очок; А. - випадання чотирьох очок; А3 - випадання шести очок. Для представлення складної події через більш прості вводять поняття додавання та множення подій.

Сумою (об'єднанням) двох подій^ ІВ називають подію С, яка полягає в здійс-нені хоча б однієї із подій^ або5 (рис. 1). Символічний запис:

С — A +В або С — AKJB.

Добутком (перетином) двох подій^ і В називають подію С, яка полягає в одно-часному здійснені і події^, і події5 (рис. 2). Символічний запис:

С — А-В, або С — АпВ.

Приклад 13. Знайти ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число буде кратним або 3, або 5, або обом зразу.

Розв’язання: Нехай A - подія, яка полягає в тому, що вибране число кратне 3, a В - в тому, що вибране число кратне 5. Рнайдемо Р(А+В). Оскільки^, В - сумісні події, то

Р{А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ) .

Обчислимо: Р(^)=30/90 (серед чисел від 10 до 99 саме 30 кратні 3), Р(5)=18/90 (чисел кратних 5 серед двоцифрових 18), Р(АВ)=6/90 (числа 15, 30, 45, 60, 90, 75 кратні і 3 і 5), отже

30 18 6 7 Р(А +В) — — + — - — = — . 90 90 90 15