1 Охарактеризувати скінченні множии та операціії над ними

Скінченна множина — множина, кількість елементів якої скінченна, тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. В інакшому випадку множина є нескінченною. Визначення 2. Множина, що не має рівнопотужних з ним власної підмножини, а також порожня множина, називається скінченною

Число елементів скінченної множини A завжди більша від числа елементів його власної підмножини B.

Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій),

результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих

операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.

а) Об’єднанням множин A і B (позначається A(B ) називається множина тих

елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B

б) Перетином множин A і B (позначається A(B ) називається множина, що

складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B

одночасно

в). Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих

елементів, які належать множині A і не належать множині B.

г). Симетричною різницею множин A і B (записується A(B, A(B або A(B )

називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не

містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A.

2Охарактиризувати предмет комбінаторики

Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, оптимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку.

Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.

Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.

Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який у 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».

Іноді під комбінаторикою розуміють більш широкий розділ дискретної математики, що включає теорію графів.

Приклади комбінаторних конфігурацій і завдань Для формулювання і розв'язання комбінаторних задач використовують різні моделі комбінаторних конфігурацій. Прикладами комбінаторних конфігурацій є:     Розміщенням з n елементів по k називається упорядкований набір з k різних елементів деякого n-елементного безлічі.     Перестановкою з n елементів (наприклад чисел 1,2, ..., n) називається всякий упорядкований набір з цих елементів. Перестановка також є розміщенням з n елементів по n.     Поєднанням з n по k називається набір k елементів, вибраних з даних n елементів. Набори, що відрізняються тільки порядком проходження елементів (але не складом), вважаються однаковими, цим поєднання відрізняються від розміщень.     Композицією числа n називається всяке уявлення n у вигляді впорядкованої суми цілих позитивних чисел.     Розбиттям числа n називається всяке уявлення n у вигляді невпорядкованою суми цілих позитивних чисел. Прикладами комбінаторних задач є:     Скількома способами можна розмістити n предметів по m шухлядах так, щоб виконувалися задані обмеження?     Скільки існує функцій F з m-елементного безлічі в n-елементне, що задовольняють заданим обмеженням?     Скільки існує різних перестановок з 52 гральних карт?         Відповідь: 52! (52 факторіал), тобто, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 або приблизно 8,0658 × 1067.     При грі в кістки кидаються дві кістки, і випали окуляри складаються; скільки існує комбінацій, таких, що сума очок на верхніх гранях дорівнює дванадцяти?         Рішення: Кожен можливий результат відповідає функції F: \ {1, 2 \} \ to \ {1, 2, 3, 4, 5, 6 \} (аргумент функції - це номер кістки, значення - окуляри на верхній грані). Очевидно, що лише 6 +6 дає нам потрібний результат 12. Таким чином існує лише одна функція, яка ставить у відповідність 1 число 6, і 2 число 6. Або, іншими словами, існує всього одна комбінація, така, що сума очок на верхніх гранях дорівнює дванадцяти. Розділи комбінаторики Перечислительного комбінаторика Перечислительного комбінаторика (або обчислюється комбінаторика) розглядає задачі про перерахування або підрахунку кількості різних конфігурацій (наприклад, перестановок) утворюваних елементами кінцевих множин, на які можуть накладатися певні обмеження, такі як: розрізнюваність або нерозрізненість елементів, можливість повторення однакових елементів і т. п. Кількість конфігурацій, утворених декількома маніпуляціями над безліччю, підраховується згідно з правилами додавання і множення. Типовим прикладом завдань даного розділу є підрахунок кількості перестановок. Інший приклад - відома Задача про листи. Структурна комбінаторика До даного розділу належать деякі питання теорії графів, а також теорії матроідов. Екстремальна комбінаторика Прикладом цього розділу може служити наступна задача: яка найбільша розмірність графа, який задовольняє певним властивостям. Теорія Рамсея Основна стаття: Теорія Рамсея Теорія Рамсея вивчає наявність регулярних структур у випадкових конфігураціях елементів. Прикладом твердження з теорії Рамсея може служити наступне:     в групі з 6 чоловік завжди можна знайти трьох чоловік, які або попарно знайомі один з одним, або попарно незнайомі. У термінах структурної комбінаторики це ж твердження формулюється так:     в будь-якому графі з 6 вершинами знайдеться або кліка, або незалежна безліч розміру 3. Імовірнісна комбінаторика Цей розділ відповідає на питання виду: яка вірогідність присутності певного властивості у заданої множини. Топологічна комбінаторика Топологічна комбінаторика (англ.) застосовує ідеї та методи комбінаторики в топології, при вивченні дерева прийняття рішень, частково впорядкованих множин, розмальовок графа і ін Інфінітарная комбінаторика Інфінітарная комбінаторика (англ.) - застосування ідей та методів комбінаторики до нескінченних (в тому числі, незліченною) множинам.