Матан 1 и 2 курс-20191213T204734Z-001 / 2_5199424839454033100

31

Res f(z0) = с−1

(1.24)

c−1 =

1

ò f (z)dz ,

(1.25)

2πi

γ

де γ – коло з центром в точці

z0 достатньо малого радіуса (воно не

повинно виходити за межі області аналітичності і не

містить

всередині інших особливих точок).

Якщо z0 – усувна особлива точка, то Res f(z0) = 0

Якщо z0 – полюс m-го порядку

d m−1

((z - z0 )m f (z))

Res f (z0 ) =

1

lim

(1.26)

(m -1)! z→z0

dzm−1

Якщо z0 – простий полюс:

Res f (z0 ) = lim ((z - z0 ) f (z))

(1.27)

z →z0

Якщо функція f (z) =

ϕ(z)

,ϕ(z0 ) ¹ 0, g(z0) = 0, g’(z0) ≠ 0, тобто

g(z)

z = z0 – простий полюс для f(z), тоді

ϕ(z0 )

Res f (z0 ) =

(1.28)

g¢(z0 )

n

ò f (z)dz =

2πi å Re s(zk )

(1.29)

Г

k =1

Приклад 1.17

Обчислити інтеграл ò

1- ez

dz

z

2

- z

z

=2

1- e

z

é0

ù

(1- e

z ¢

- e

z

lim

=

= lim

)

= lim

=1

z

2

- z

ë

0û

(z

2

- z)

2z -

1

z →0

z →0

z →0

ê

ú

¢

32

Точка z = 1 – простий полюс, за формулою (1.27):

Res f (1) = lim

(1− ez )(z −1)

=1− e.

z(z −1)

z→1

За формулою (1.29):

1− ez

ò

dz = 2πi(Res f (0) + Res f (1))= 2πi(1− e)

z

z2 − z

=2

Приклад 1.18

z + i

Обчислити інтеграл

ò

dz

(z +

1)

2

(z − i)

z

=3

Розв’язок.

z = i – простий полюс; за формулою (1.27):

Res f (i) = lim

(z + i)(z − i)

= lim

(z + i)

=1

(z +1)2 (z − i)

(z +1)2

z→i

z →i

z = −1 – полюс другого порядку, за формулою (1.26):

æ

(z

+ i)(z + 1)

2

ö′

æ z + i

ö

¢

2i

Res f (-1) = lim

ç

÷

=

lim

= -

lim

= -1

÷

ç

÷

2

- i

2

z→−1ç

(z

+ 1)

z→−1è z

ø

z→−1

(z - i)

è

(z - i) ø

За формулою (1.29):

ò

z + i

dz

= 2πi(Res f (i) + Res f (−1))= 2πi(1+ (−1))= 0

z

(z +1)2 (z − i)

=3

Приклад 1.19

1

Обчислити інтеграл

ò(1+ z + z2 )e

dz

z −2

(1+ z + z2 )e

1

=

(7 + 5(z - 2) + (z - 2)2 )×å∞

1

=

z −2

k

k!

25

29

1

k =0 (z - 2)

= (z - 2)2 + 6(z - 2) +

+

+....

3

z - 2

За формулою (1.24)

2

Res f (2) =

29

3

1

ò(1+ z + z2 )e

dz = 2πi ×

29

z −2

3

z −2

=1

Приклад 1.20

ctgz

Обчислити інтеграл

ò

dz

4z -π

z

=1

Розв’язок.

ctgz

cos z

Знаменник

функції

=

дорівнює

нулеві в

4z -π

(4z -π )sin z

точках z =

π , z = kπ , k = 0,±1; ± 2;.... Всі ці

точки

прості

полюси

4

¢

æ

= cos kπ ¹ 0

ö

Всередину

кола

z

=1

çsin kπ = 0,

(sin z)

÷ .

è

z =kπ

ø

æ π

ö

ctg z

1

cos z

1

Res f (0)=

4z -π

= -

Res f ç

÷

=

=

(4z -π )¢

(sin z)¢

π

è 4

ø

z =

π

4

4

z =0

ctgz

æ

1

1 ö

dz = 2πiç

-

÷ .

zò=1 4z -π

4

π

è

ø

F( p) = ∞ò f (t)e− pt dt

(2.1)

0

Інтеграл Лапласа – невласний інтеграл, що залежить від

комплексного параметра p .

Оригіналом називається функція

f (t) , яка задовольняє таким

умовам:

f (t) = 0 при t < 0

f (0) = lim

f (t)

1)

t →0+

£ MeSt, "t > 0 ,

2)

існують сталі S > 0 і M > 0

такі, що

f (t)

при цьому число S називається показником росту функції

f (t) ;

3) на будь-якому скінченому інтервалі [a,b] функція

f (t) може

мати скінчену кількість точок розриву першого роду.

Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція

Хевісайда (рис. 2.1):

t > 0

ì1,

(2.2)

η(t) = í

t < 0

î0,

Якщо

f (t) – оригінал, то інтеграл Лапласа F( p) збігається

абсолютно і рівномірно на півплощині Re p > S .

Функція F( p)

– аналітична на цій півплощині та називається

зображенням функції

f (t) .

Співвідношення між оригіналом f (t) та зображенням F( p)

символічно

записується

у вигляді

∙

або

∙

f (t) ¬ F(p) ,

f (t) = F( p) .

∙

∙

Надалі позначатимемо:

f (t) –

оригінал,

F( p) –

відповідне

зображення.

2.2 Властивості перетворення Лапласа

2.2.1

Лінійність

n

∙

n

åck

fk (t) =ck

åFk ( p) , де Re ( p) > max(S1, S2 ,...,Sn ) для будь-

k =1

∙

k =1

яких сталих ck , для k =1, 2,...,n.

2.2.2

Теорема подібності

∙

æ

p ö

Для довільної сталої α > 0 :

f (αt) =

1

Fç

÷ , де Re p > αS .

∙ α

è

α ø

36

2.2.3

Теорема зміщення

∙

(2.3)

eαt f (t) = F( p -α) , де Re ( p −α) > S

∙

2.2.4

Теорема запізнення

∙

(2.4)

f (t -τ)η(t -τ ) =e− pτ F( p) , де Re p > S, τ > 0

∙

ì f (t -τ ), t ³τ

, де τ > 0

Розглянемо функцію g(t) = í

t <τ

î0,

∙

t

(2.11)

F(p)Ф( p) = ò f (τ )ϕ(t −τ)dτ ,

∙

0

Інтеграл в

правій

частині називається

згорткою функцій

f (t)iϕ(t) . Позначають її

f (t) *ϕ(t) .

2.2.10 Інтеграл Дюамеля

∙.

∙

та g(t) неперервно

Якщо f (t) = F( p) ,

g(t) =G(p) і f (t)

∙

∙

38

∙

d

t

t

(2.12)

pF ( p)G( p) =∙

dt

ò f (τ )g(t − τ )dτ = f (t)g(0) + ò f (τ )g′(t −τ )dτ

0

0

2.2.11 Диференціювання та інтегрування за параметром

∙

∂f

α2

ò f (t,α)dα є оригіналами

Якщо

f (t,α) = F( p,α)

і функції

,

по змінній t , то

∙

∂α

α1

α2

∙ α2

∂f (t,α) ∙

∂F( p,α)

та

F( p,α)dα

(2.13)

∂α

=

∂α

ò

f (t,α)dα =

ò

∙

∙

α1

α1

2.2.12 Теорема обертання

Якщо

f (t) – оригінал, а F( p)

– його зображення, то у будь-

якій точці неперервності

функції f (t)

є справедливою

формула

обернення Мелліна

1

S +iw

f (t) =

òF( p)eptdp ,

(2.14)

2πi

S −iw

39

ì0,

t < 0

ï

0 £ t < 4

ï3,

f (t) = í

3

t, 4

£ t < 6

ï9 -

2

ï

ï

t ³ 6

î0,

40

æ

3

ö

Тому f3

(t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9

-

t ÷η(t - 4).

2

è

ø

æ

3

ö

æ

3

ö

f (t) = 3η(t) - 3η(t - 4) + ç9

-

t ÷η(t - 4)- ç9

-

t ÷η(t - 6).

2

2

è

ø

è

ø

Тобто

æ

3

ö

æ

3

ö

f (t) = 3η(t) + ç6 -

(t - 4)- 6÷η

(t - 4)- ç9

-

(t - 6)- 9

÷η(t - 6)=

2

2

3

è

3

ø

è

ø

= 3η(t) -

(t - 4)η(t - 4)+

(t - 6)η(t - 6)

2

2

Використовуючи таблицю зображень-оригіналів:

∙

3

3 t =

2 ∙ 2p2

За теоремою запізнення (2.4)

∙

3

3

e−4 p +

3

e−6 p

f (t) =

−

2p2

2p2

∙

p