Вопрос 30. Способы приведения временного ряда к стационарному виду.

Вопрос 31. Корреляционная функция марковского временного ярда. Авторегрессия первого порядка (марковский процесс).

Модель АР(1) имеет вид

. (7.21)

С использованием оператора сдвига Вимеем:. Отсюдаили. Рассматриваяприа<1как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателемаВ,получаем, что

. (7.22)

Таким образом, марковский процесс есть частный случай общей линейной модели (7.16) с коэффициентами c_j=a^j.

Выражение (7.22) можно получить и из (7.21) непосредственно, выражая y_t-1черезy_t-2,y_t-2черезy_t-3и так далее.

Дисперсия y_tв соответствии с (7.18) есть

Dy_t≡.

Выходит, белый шум с дисперсией порождает в схеме Маркова случайный процесс с возросшей дисперсией.

Для нахождения автоковариационной функции марковского процесса можно воспользоваться общим выражением (7.19). Однако более нагляден следующий путь. Домножим уравнение (7.21) на y_t-1и возьмем математическое ожидание

.

Поскольку второе слагаемое в правой части равно нулю в силу некоррелированности ε_tс прошлым значением рядаy_t-1, получаем

(в силу стационарностиy_t).

Из последнего соотношения имеем: , то естьасовпадает с коэффициентом автокорреляцииr₁.

Умножим (7.21) на y_t-kи возьмем математическое ожидание:

.

Заменяя анаr₁и деля на, получаемr_k=r₁r_k-1. Отсюда

,k=2,3,…

Итак, в марковском процессе все автокорреляции можно выразить через первую автокорреляцию. Поскольку ׀ r₁׀<1, автокорре-ляционная функция марковского процесса экспоненциально убывает при ростеk.

Рассмотрим теперь частную автокорреляционную функцию марковского процесса. Мы получили, что корреляция между двумя членами ряда, отстоящими на два такта, то есть между y_t+2иy_t,выражается величиной. Ноy_t+2зависит отy_t+1, аy_t+1− отy_t. Возникает вопрос, сохранится ли зависимость междуy_t+2иy_t, если зависимость от срединного членаy_t+1устранена? Соответствующий частный коэффициент корреляции есть

.

Поскольку , числитель равен нулю. Частные коэффициенты корреляции для членов ряда, отстоящих на 3,4 и так далее тактов также равны нулю. Таким образом, автокорреляция существует только благодаря корреляции соседних членов, что следует из математической модели марковского процесса.

Графическая иллюстрация полученных результатов представлена на рис. 7.

Завершая рассмотрение модели АР(1), отметим, что она весьма часто используется в экономико-математических исследованиях для описания остатков линейной регрессии, связывающей экономические показатели.

Вопрос 32. Частная автокорреляционная функция марковского временного ярда.

Рассмотрим теперь частную автокорреляционную функцию марковского процесса. Мы получили, что корреляция между двумя членами ряда, отстоящими на два такта, то есть между y_t+2иy_t,выражается величиной. Ноy_t+2зависит отy_t+1, аy_t+1− отy_t. Возникает вопрос, сохранится ли зависимость междуy_t+2иy_t, если зависимость от срединного членаy_t+1устранена? Соответствующий частный коэффициент корреляции есть

.

Поскольку , числитель равен нулю. Частные коэффициенты корреляции для членов ряда, отстоящих на 3,4 и так далее тактов также равны нулю. Таким образом, автокорреляция существует только благодаря корреляции соседних членов, что следует из математической модели марковского процесса.

Графическая иллюстрация полученных результатов представлена на рис. 7.

Завершая рассмотрение модели АР(1), отметим, что она весьма часто используется в экономико-математических исследованиях для описания остатков линейной регрессии, связывающей экономические показатели.