Вопрос 19. Анализ связи ранговых переменных.

Рассмотрим вначале оценку связи между парой порядковых переменных (признаков) хиу. Как правило, это результаты измерений, получаемых экспертным путем, так чтохⁱ – ранг (порядковое место), приписываемый i-му объекту (i=1,2,…,N) первым экспертом, ауⁱ –ранг, приписываемый этому же объекту вторым экспертом. Подобные ряды часто называютранжировками. Если признакихиу взаимосвязаны, то порядок, в котором следуют числа x¹,x²,…,x^N, будет влиять и на последовательностьy¹,y²,…,y^N.

В отсутствии связи уместно выдвинуть гипотезу Н₀о случайном ранжировании, так что любая из N! перестановок из чисел 1,2,…,N представляется равновозможной.

Степень близости двух рядов чисел x¹,x²,…,x^N и y¹,y²,…,y^N отражает сумма квадратовS=0, когда обе последовательности совпадают. Если последовательности противоположны (xⁱ=1 соответствуетyⁱ=N, x^j=2 – у^j=N-1 и т.д.),Sпринимает максимальное значение, равное (N³-N)/3. НормируяSна максимальное значение так, чтобы получающаяся величина лежала в диапазоне от –1 до 1, получаемкоэффициент ранговой корреляции Спирмена

.

Наряду с r^S широкую популярность получил коэффициент ранговой корреляции Кендэла. Этот коэффициент в качестве меры близости двух рядов чисел использует минимальное число перестановок соседних чисел, переводящее одно упорядочение в другое. Число таких перестановок равняется числуинверсий.

Алгоритм подсчета числа инверсий следующий. Переставим объекты в порядке возрастания значений х. В итоге по первому признаку получим натуральный ряд чисел 1,2,…,N, а по второму – ряд, который обозначимz¹,z²,…,z^N. Будем сравнивать zⁱ (i=1,2,…,N) cпоследующими значениями zⁱ⁺¹,zⁱ⁺²,…,z^N. Если окажется, что zⁱ>z^i+k, k=1,2,…,N-i, то имеет место инверсия (нарушение порядка). Обозначимm_i число инверсий, связанных сzⁱ. Тогда полное число инверсий составит К=m₁+m₂+…+m_N. Пусть, например, ряд z имеет четыре члена 3,4,1,2.Число 3 вызывает две инверсии (с 1 и 2), число 4 дает также две инверсии, 1 предшествует 2, так что инверсия здесь не имеет места. В итоге получим четыре инверсии.

Число инверсий К лежит в диапазоне от 0 до N(N-1)/2. Нормируя К, получаюткоэффициент ранговой корреляции Кендэла:

.

В условиях гипотезы Н₀(случайное независимое ранжирование) любая изN! перестановок равновероятна, поэтому можно рассчитать закон распределения вероятностейr^Sиr^K.В табл. 1 приводятся критические значения коэффициентовr^Sиr^Kдля уровней значимости0,05 при числе сравниваемых объектовNв диапазоне5≤ N≤10. Если расчетные значениялибопревзойдут по модулю критические значения, то гипотезаН₀ отвергается.

Таблица 1

Число объектов	5	6	7	8	9	10
Уровень значимости	0,084	0,058	0,066	0,058	0,044	0,06
	0,900	0,829	0,750	0,714	0,700	0,624
Уровень значимости	0,084	0,056	0,070	0,062	0,044	0,046
	0,800	0,733	0,619	0,571	0,556	0,511

Для проверки значимости коэффициента ранговой корреляции при N>10 можно воспользоваться тем фактом, что случайные величины

,=

распределены (приближенно) по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Обозначим ,.значенияu^Sиu^Kдля конкретного, выборочного, значенияи. Если окажется, чтолибопревышает табличное значениеu_T стандартного нормального закона при выбранном уровне значимостиq(дляq=0,05u_т=1,96), гипотезаН₀отвергается.

Приведенные выше формулы для r^Sиr^K получены в предположении, что соответствующая система с отношениями не содержит классов эквивалентности, так что каждому объекту удалось присвоить определенный, отличный от других, ранг. Наличие классов эквивалентности означает, что всем объектам данного класса должен быть присвоен один и тот же ранг, равный среднему значению мест, которые объекты поделили. Такие ранги называютсвязанными. Пусть, например, шесть объектов упорядочены как представлено в табл.2.

Таблица 2

Объекты12	3	4	5	6
Места11	2	3	3	3

Из таблицы видно, что объекты 1 и 2 образуют один класс эквивалентности, а объекты 4 и 5 – другой. Ранги, которые должны быть приписаны в итоге, указаны в табл.3.

Таблица 3

Объекты	1	2	3	4	5	6
Ранги	1,5	1,5	3	5	5	5

При наличии связанных рангов выражение для приобретает вид

(2.8)

где

kиl – число случаев появления связанных рангов,t_i иu_i – число совпадающих рангов в каждом из упорядочений. Так, для данных табл. 3Т=[2(2²–1)+3(3²–1)]/12.

«Правленый» коэффициент ранговой корреляции Кендэла определяется соотношением

,

в котором . Смысл величинk,l,t_i,u_i тот же, что и в.

Рассмотрим теперь меру согласия m(m>2) ранжировок. Пусть– ранг, приписанныйi-му (i=1,2,…,N) объекту вj-м ранжировании (j=1,2,…,m). Для оценки степени связи между несколькими ранжировками используют коэффициент конкордации

,

где

(2.9)

– сумма квадратов отклонений суммы рангов, приписанных тому или иному объекту, от общего среднего; S_max – максимальное значениеS, получаемое в случае, когда все ранжировки совпадают.

В многомерном ранжировании возможно полное совпадение мнений у разных экспертов, однако теряется понятие «противоположного» мнения. Поэтому меру согласия вводят так, чтобы она равнялась 1 при полном совпадении ранжировок и 0 − при случайном ранжировании. Введенная мера этому условию удовлетворяет. Действительно, при случайном ранжировании для разныхiбудут близки между собой и не столь существенно отличаться от общего среднегоm(N+1)/2, что дает ; при полном совпадении ранжировок. В итоге,.

При наличии связанных рангов в формуле для знаменатель уменьшается на величину , гдеT_jимеет тот же смысл, что иТв (2.8).

По имеющимся mранжировкам можно подсчитатьm(m-1)/2 коэффициентов. Оказывается, среднее значение этих коэффициентов, обозначаемое как, и коэффициент конкордации связаны соотношением.

Для оценки значимости коэффициента конкордации можно воспользоваться χ²-распределением с ЧСС=N-1, которому приближенно удовлетворяет величинаm(N-1)W при условии, что число сравниваемых объектов не меньше 7, т.е.N>7. Пригипотеза о случайном ранжировании отвергается. Припроверка значимости производится с помощью табл.4. В ней при уровне значимости 0,05 даны предельные значенияS_Т. ЕслиS(см.(2.9)) превышаетS_Т, т.е.S>S_Т, гипотезаН₀о случайном ранжировании отвергается.

Таблица 4

mN
34		5	6	7
3		64,4	103,9	157,3
449,5		88,4	143,3	217,0
562,6		112,3	182,4	276,2
675,7		136,1	221,4	335,2
848,1101,7		183,7	299,0	453,1
1060,0127,8		231,2	376,7	571,0