79. Множественная линейная регрессионная модель: доверительная область для коэффициентов регрессии
Рассмотрим случай, когда
.
Тогда равенство (58) примет вид:
Заменив
на
и
на
в формуле (59), получим:
(72)
В силу (62)
-доверительная
область для вектора
задается условием:
(73)
и является эллипсоидом в m-мерном
пространстве.
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Пусть
.
Например,
.
Будем считать, что в соответствии с зависимостью (5), имеет место равенство:
(74)
и для
выполняются основные гипотезы линейной
регрессии:
1)
;
2)
;
3)
.
Для получения доверительных интервалов
ниже будем считать, что условное
распределение случайной величины
нормально (при фиксированных значениях
случайных величин
и
).
Тогда в силу формулы (76) из того, что условное распределение оценки нормально, вытекает, что условное распределение прогноза также нормально.
Подставив вместо
ее выборочную несмещенную оценку
,
получим несмещенную оценку для
:
.
Доверительный
интервал для
Будем считать, что значение не известно.
(89)
является
несмещенной оценкой для
.
Можно показать, что величина
(91)
имеет распределение Стъюдента с числом степеней свободы .
Это соотношения определяет доверительный интервал для значения :
, (94)
в который с вероятностью попадает .
Множественная линейная регрессионная модель: точечный прогноз и его несмещенность.
Точечный
прогноз заключается в получении
прогнозного значения уp,
которое определяется путем подстановки
в уравнение регрессии
соответствующего
(прогнозного) значения xp:
81 (34) Множественная линейная регрессионная модель: интервальный прогноз для ожидаемого значения зависимой переменной.
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Пусть
.
Будем считать, что в соответствии с зависимостью (5), имеет место равенство:
(74)
и для выполняются основные гипотезы линейной регрессии:
1) ;
2)
;
3)
.
В силу гипотезы (1):
(75)
Прогнозное значение
находится в соответствии с формулой
(11):
(76)
Заметим, что
.
(77)
В силу (75), (76), прогнозное значение
является несмещенной оценкой величины
..
Для получения доверительных интервалов
ниже будем считать, что условное
распределение случайной величины
нормально (при фиксированных значениях
случайных величин
и
).
Тогда в силу формулы (76) из того, что условное распределение оценки нормально, вытекает, что условное распределение прогноза также нормально.
При этом в силу (63):
(78)
Итак,
(79)
Подставив формулу (24) в (79), получим:
(80)
Подставив вместо
ее выборочную несмещенную оценку
,
получим несмещенную оценку для
:
. (81)
Обозначим:
(82)
Можно доказать, что статистика
(83)
имеет распределение Стъюдента с числом
степеней свободы
.
Следовательно, при уровне значимости :
, (84)
где – двусторонняя квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .
Из (84) в результате несложных алгебраических преобразований имеем:
(85)
Это соотношение определяет доверительный интервал для ожидаемого значения :
, (86)
в который с вероятностью попадает .