61. (14.) Парная линейная регрессионная модель: интервальный прогноз для ожидаемого значения зависимой переменной.
Будем считать, что при
в соответствии с зависимостью (1), имеет
место равенство:
и для
выполняются основные гипотезы линейной
регрессии:
1)
;
2)
;
3)
при
– некоррелированность ошибок для разных
наблюдений (отсутствие автокорреляции
ошибок).
В силу гипотезы (1)
Прогнозное значение
находится в соответствии с формулой
.
(60)
В силу (58), (60), прогнозное значение
является несмещенной оценкой величины
.
Для получения доверительных интервалов
ниже будем считать, что условное
распределение случайной величины
нормально (при фиксированных значениях
случайных величин
и
).
(61)
Итак,
(63)
Несмещенная оценка для
:
. (64)
При уровне значимости
:
, (67)
где
– двусторонняя квантиль распределения
Стъюдента для уровня значимости
и числа степеней свободы
.
Из (67) имеем:
(68)
Это соотношения определяет доверительный интервал для ожидаемого значения :
, (69)
в который с вероятностью
попадает
.
62 (15). Парная линейная регрессионная модель: интервальный прогноз для зависимой переменной.
Будем
считать, что значение
не известно.
(70)
(71)
Следовательно,
(72)
является
несмещенной оценкой для
.
Обозначим:
(73)
В условиях нашего примера:
Можно показать, что величина
(74)
имеет распределение Стъюдента с числом степеней свободы .
Следовательно, при уровне значимости :
, (75)
где – двусторонняя квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .
Из (75) в имеем:
(76)
Это соотношения определяет доверительный интервал для значения :
, (77)
в который с вероятностью попадает .
63 (16.). Множественная линейная регрессионная модель: спецификация модели с матричном виде, преобразование модели со свободным членом к модели без свободного члена.
Спецификация модели
,
, (1)
– объясняющие
(независимые) переменные,
– объясняемая (зависимая) переменная,
– случайное отклонение,
– коэффициенты регрессии.
Отметим, что и – случайные величины, может быть как случайной, так и неслучайной (детерминированной) величиной.
Обозначим:
,
,
,
С помощью этих обозначений запишем уравнения регрессии (1) в матричном виде:
(5)
|
|
|
|
1 |
6 |
41 |
58 |
2 |
12 |
55 |
36 |
3 |
10 |
46 |
34 |
4 |
7 |
32 |
15 |
5 |
3 |
31 |
87 |
64. Множественная регрессионная модель: осн гипотезы в матр виде.
Основные гипотезы
1) Спецификация модели
,
,
где
– объясняющие (независимые) переменные,
-объясняемая (зависимая) переменная,
– случайное отклонение,
– коэффициенты регрессии.
2)
3)
,
где
– матрица размером
Дополнительная гипотеза:
4) – (условно) нормально распределенная случайная величина
Тогда:
В этом случае модель называется нормальной линейной регрессионной.