48. Парная линейная регрессионная модель: остатки регрессии, необъясненная дисперсия и стандартная ошибка регрессии.

– прогнозное значение объясняемой переменной, и – некоторые оценки коэффициентов регрессии и .

Отметим, что зависит от значений коэффициентов и .

Остатки регрессии определяются из уравнения:

(27)

Следовательно, остатки регрессии можно найти по формуле:

(28)

Обозначим:

(необъясненная дисперсия) (29)

Можно показать, что величина является несмещенной оценкой дисперсии ошибок , т.е.

. Квадратный корень из называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии).

48. Парная линейная регрессионная модель: дисперсии, стандартные отклонения и ковариация мнк-оценок коэффициентов регрессии, и их оценки (на основе необъясненной дисперсии).

Обозначим:

,(31)

.(32)

(33)

где (необъясненная дисперсия)

В силу несмещенности оценки из (24)-(26) (величина является несмещенной оценкой дисперсии ошибок , т.е.

)

,(24)

.(25)

(26)

следует, что величины (31)-(33) являются несмещенными оценками, соответственно, дисперсий случайных величин и , и их ковариации.

48. Понятие о распределениях «хи квадрат» и Стъюдента (с заданным числом степеней свободы), квантили распределения Стъюдента.

Распределение Пирсона  (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X₁, X₂,…, X_n независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

распределение Стьюдента применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости,

Кванти́ли распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.

Пусть  — функция распределения Стьюдента с степенями свободы, и . Тогда -квантилью этого распределения называется число такое, что .

48. Парная линейная регрессионная модель: построение t-статистик для коэффициентов регрессии, проверка гипотез для коэффициентов регрессии.

Статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии проверяется на основе Tстат.