85 (38) Нелинейные регрессионные модели: метод наименьших квадратов, методика выбора вида зависимости объясняемого фактора от объясняющих факторов.

Нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом производственной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т.п.),функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

1. Нелинейные по переменным величинам y=bx² 2)Нелинейные по параметрам 

В эконометрике для оценки параметров нелинейных моделей исполь­зуются два подхода:

• линеаризация моделей, не линейных как по переменным, так и по пара­метрам, когда с помощью подходящих преобразований исходных пе­ременных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными;

• методы нелинейной оптимизации на основе исходных данных (когда не удается подобрать соответствующее линеаризующее преобразование).

Пример Если необходимо оценить параметры не линейной по переменным регрессионной модели (1), то, вводя новые переменные (2), получим линейную мо­дель (3) , параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.

(1)

(2)

(3)

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε

заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε

для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.

Нелинейность моделей по параметрам является более сложной про­блемой. Непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей относятся:

• мультипликативная (степенная) модель 

• экспоненциальная   и другие.

Эти модели могут быть приведены к линейным путем логарифмиро­вания обеих частей уравнений. Тогда общий вид мультипликативной мо­дели станет следующим:

К полученной модели уже можно применить МНК.

86. (39)Показательная регресс. Модель:

1 . Метод линеаризации – логарифмирование:

2 . Введение новых переменных и параметров:

3. Оценка линейной регрессионной модели:

4. Обратный переход к исходной модели.

Экономический смысл коэффициента а₁ в исходной модели– темп роста переменной Y. Коэффициент а₀ – начальное значение переменной Y. Показательные функции находят применение при моделировании процессов с постоянным темпом роста.