Часть 2
1 Что называется потоком вектора напряжённости электрического поля через поверхность?
По
определению потоком
векторного
поля
через площадку
называется величина (рис.2.1)
Р
ис.2.1.
К определению потока вектора
.
Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской (рис.2.2), то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно записать:
Тогда поток через всю поверхность S будет:
где
.
2 Что называется циркуляцией вектора напряжённости электрического поля по заданному контуру?
Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L
|
(13.18) |
Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.
3 Дайте определение единицы измерения потенциала электрического поля.
размерность
в СИ:
4 Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме полой заряженной металлической сферой радиуса К с зарядом д, в точках, расположенных внутри и вне сферы.
5 Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме равномерно заряженным шаром радиуса Я с объемной плотностью заряда р, в точках, расположенных внутри и вне шара.
П
ример
.
Поле равномерно заряженного шара.а)
Металлический
шар.
При равновесии заряды равномерно
распределяются по внешней поверхности
заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при
<
(внутри шара) электрическое поле
отсутствует:
.
Рис.2.7. Поле равномерно заряженного металлического шараВне шара ( > ) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:
.
Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда.
6 Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме бесконечной равномерно заряженной нитью.
Пример
Поле равномерно заряженной нити
(цилиндра).В
данном случае электрическое поле
обладает аксиальной симметрией – не
зависит от азимутального угла φ и
координаты z
и направлено вдоль радиус-вектора
(рис.2.6). Поэтому для потока вектора
через выбранную цилиндрическую
поверхность с осью, совпадающей с
заряженной нитью, имеем:
,
где
- элемент цилиндрической поверхности;
l
– длина произвольного участка нити.
С
другой стороны, по теореме Гаусса этот
поток равен:
причем
,
- линейная плотность заряда нити.
Рис.2.6. Поле равномерно заряженной нити.
Отсюда
находим:
.
Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:
.
7 Получите формулу напряженности электрического поля, созданного в вакууме бесконечной заряженной плоскостью.
Пример Поле равномерно заряженной плоскости.
Электрическое
поле, создаваемое бесконечно протяженной
равномерно заряженной плоскостью,
является однородным – в каждой точке
пространства вне плоскости его
напряженность всюду одинакова. Направлено
это поле перпендикулярно к плоскости
в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока
вектора напряженности поля через
произвольно выбранную цилиндрическую
поверхность, опирающуюся на элемент
плоскости ΔS,
можем написать:
,
откуда
,
где
- поверхностная плотность заряда.
Размерность
в СИ:
.
Р
ис.2.5.
Поле равномерно заряженной плоскости.
Таким
образом, искомая напряженность
электрического поля равномерно
заряженной
плоскости
8 Чему равен потенциал электрического поля, созданного в вакууме полой заряженной металлической сферой радиуса К с зарядом ^, в точках, расположенных внутри и вне сферы?
9 Какова разность потенциалов между двумя точками, расположенными в вакууме на расстояниях а и Ь от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда о"?
Пример Потенциал поля заряженной плоскости (2.18).
Разность
потенциалов U
(рис.2.18)
двух точек на силовой линии поля
заряженной плоскости:
10 Какова разность потенциалов между двумя точками, расположенными в вакууме на расстояниях а и Ъ от бесконечной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда т?
Пример Потенциал поля заряженной нити (рис.2.17).
При
:
Рис.2.17.
Разность потенциалов U (рис.2.17) двух точек на силовой линии поля заряженной нити:
11 Установите связь между напряжённостью электростатического поля и потенциалом. Как направлены вектора напряженности и градиента потенциала этого поля?
Напряженность и потенциал – это две характеристики одного и того же объекта – электрического поля, поэтому между ними должна существовать функциональная связь. Действительно, работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую может быть представлена двояким образом:
Откуда
следует, что
Или
Это и есть искомая связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в дифференциальном виде.
-
вектор, направленный из точки с меньшим
потенциалом в точку с большим потенциалом
(рис.2.11).
,
.
Рис.2.11. Векторы и gradφ. .